Koordinátageometria

A beírt kör középpontja \( K(4; 2) \), sugara \( r = 2 \).

a) Mivel az alap az \(x\) tengely, a háromszög szimmetriatengelye merőleges az alapra és átmegy a beírt kör \(K\) középpontján. A szimmetriatengely egyenlete így \( x = 4 \).
A harmadik oldal az \( y = \frac{4}{3}x \) egyenes \( x = 4 \)-re vonatkozó tükörképe. Az egyenes és az \(x\) tengely metszéspontja az origó \( (0; 0) \), ennek tükörképe a \( (8; 0) \) pont. A lejtő meredeksége \(-\frac{4}{3}\) lesz. Az egyenes egyenlete: \( y = -\frac{4}{3}(x - 8) \), azaz \( 4x + 3y = 32 \).

b) Ha az adott egyenesek a szárak, akkor az alap (harmadik oldal) merőleges a két szár szögfelezőjére. A szögfelező átmegy az origón (a szárak metszéspontján) és a \( K(4; 2) \) ponton, tehát egyenlete \( y = \frac{1}{2}x \).
Az alap erre merőleges, így iránytényezője \( -2 \). Egyenlete felírható \( 2x + y = c \) alakban. Ez az egyenes érinti a beírt kört, így a \(K(4; 2)\) ponttól vett távolsága \( r=2 \): \[ \frac{|2 \cdot 4 + 2 - c|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = 2 \implies |10 - c| = 2\sqrt{5} \] Ebből \( c = 10 \pm 2\sqrt{5} \). Mivel az origó (a csúcs) és az alap között helyezkedik el a beírt kör, az origótól távolabbi egyenes a megoldás. A keresett egyenes egyenlete: \( 2x + y = 10 + 2\sqrt{5} \).

a) A megadott egyenes tengelymetszetei az \( A(5; 0) \) és a \( B(0; 10) \) pontok. Mivel az egyik csúcs az origó \( (0; 0) \), és egy oldal valamelyik tengelyen van, a derékszög vagy az origónál, vagy az egyenes és egy tengely metszéspontjánál lehet.
1. eset: A derékszög az origónál van. Ekkor a befogók a tengelyeken fekszenek. A háromszög csúcsai: \( (0; 0), (5; 0), (0; 10) \).
2. eset: A derékszög a megadott egyenes és az \(x\) tengely metszéspontjánál van. A csúcsok: \( (0; 0), (5; 0) \), és \( (5; 0) \) pontban emelt merőleges metszéspontja az egyenessel: nincs, mert a megadott egyenes maga adná, ami nem merőleges.
3. eset: A harmadik oldal merőleges a megadott tengelyre úgy, hogy az a befogó. Ha az origóból indul egy oldal az \(x\)-tengelyen, akkor a derékszög a \( (5; 0) \)-nál csak akkor lehet, ha a harmadik oldal az \( x = 5 \) egyenes, amely metszi a megadott egyenest épp az \( (5; 0) \)-ban, így nem kapunk háromszöget. Az egyetlen megoldás a tengelyeken fekvő befogókkal adódó háromszög. Összesen 1 ilyen háromszög van.

b) Az origó középpontú, 4 egység sugarú kör egyenlete \( x^2 + y^2 = 16 \). Az egyenesnek és a körnek akkor van közös pontja, ha az origótól mért távolsága legfeljebb a sugár:
\[ d = \frac{|2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - b|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|b|}{\sqrt{5}} \] Felírva az egyenlőtlenséget: \( \frac{|b|}{\sqrt{5}} \le 4 \implies |b| \le 4\sqrt{5} \).
Tehát \( b \) értéke a \( [-4\sqrt{5}; 4\sqrt{5}] \) zárt intervallumba eshet.

Az \(A\) és \(B\) csúcsok távolsága a \(C\) ponttól egyaránt \( \sqrt{53} \), ami azt jelenti, hogy illeszkednek a \(C\) középpontú, \( \sqrt{53} \) sugarú körre: \[ x^2 + (y - 7)^2 = 53 \] Továbbá rajta vannak a megadott parabolán is, így a parabola egyenletéből fejezzük ki \(x^2\)-et: \[ x^2 = 4 - 4y \] Helyettesítsük be a kör egyenletébe: \[ (4 - 4y) + (y^2 - 14y + 49) = 53 \] Rendezzük a másodfokú egyenletet: \[ y^2 - 18y + 53 = 53 \implies y^2 - 18y = 0 \] Ennek megoldásai az \( y = 0 \) és \( y = 18 \). Mivel \( x^2 = 4 - 4y \), az \( y = 18 \) esetén \( x^2 = -68 \) adódna, ami valós számokon nem lehetséges. Így csak az \( y = 0 \) jó.

Ha \( y = 0 \), akkor \( x^2 = 4 \), amiből \( x = \pm 2 \).

A háromszög másik két csúcsának koordinátái tehát: \( A(-2; 0) \) és \( B(2; 0) \).

a) A csúcsok meghatározásához oldjuk meg a megfelelő egyenletrendszereket:
\( A = DA \cap AB \): kivonva az egyenleteket \( -9y = 0 \implies y = 0 \), behelyettesítve \( x = \frac{20}{3} \). Így \( A(\frac{20}{3}; 0) \).
\( B = AB \cap BC \): megoldva a rendszert \( x = 0, y = 4 \). Így \( B(0; 4) \).
\( C = BC \cap CD \): megoldva a rendszert \( y = 0, x = -3 \). Így \( C(-3; 0) \).
\( D = CD \cap DA \): megoldva a rendszert \( x = 0, y = -5 \). Így \( D(0; -5) \).
Látható, hogy \(A\) és \(C\) az \(x\)-tengelyen, \(B\) és \(D\) az \(y\)-tengelyen fekszenek. Az \(AC\) átló tehát az \(x\)-tengely, a \(BD\) átló az \(y\)-tengely.
A derékszögek ellenőrzéséhez az oldalegyenesek meredekségeit vizsgáljuk: \( m_{DA} = \frac{3}{4} \), \( m_{AB} = -\frac{3}{5} \), \( m_{BC} = \frac{4}{3} \), \( m_{CD} = -\frac{5}{3} \). Bármely két szomszédos oldal meredekségének szorzata eltér \(-1\)-től, így nincs derékszög.

b) Egy konvex négyszög akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege \(180^\circ\). De létezik egy másik feltétel is az átlók alapján: ha a tengelyeken fekvő metszéspontok (origó) távolságainak szorzata egyenlő (\( OA \cdot OC = OB \cdot OD \)), akkor a pontok körön vannak (szelőtétel).
\( OA = \frac{20}{3} \), \( OC = 3 \). Szorzatuk: \( \frac{20}{3} \cdot 3 = 20 \).
\( OB = 4 \), \( OD = 5 \). Szorzatuk: \( 4 \cdot 5 = 20 \).
Mivel a szorzatok megegyeznek, a négy pont egy körön helyezkedik el, így az ABCD négyszög valóban húrnégyszög.

Alakítsuk teljes négyzetté a kör egyenletét: \[ (x + 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 - 3 = 0 \implies (x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 16 \] A kör középpontja \( K(-3; -2) \), sugara \( r = 4 \). Az \( A(1; -2) \) csúcs rajta van ezen a körön.

A szabályos háromszög csúcsait megkaphatjuk, ha a \(\vec{KA}\) vektort \(\pm 120^\circ\)-kal elforgatjuk a \(K\) középpont körül. A \(\vec{KA}\) vektor koordinátái: \( (1 - (-3); -2 - (-2)) = (4; 0) \).

Forgatás \(\pm 120^\circ\)-kal: Az új vektorok \(x\) és \(y\) koordinátái: \[ x' = 4 \cdot \cos(\pm 120^\circ) = 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -2 \] \[ y' = 4 \cdot \sin(\pm 120^\circ) = 4 \cdot \left(\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pm 2\sqrt{3} \] A vektorok tehát: \( (-2; 2\sqrt{3}) \) és \( (-2; -2\sqrt{3}) \).

A háromszög másik két csúcsának helyvektorát úgy kapjuk meg, hogy ezeket hozzáadjuk a kör középpontjához (\(K\)): \[ B(-3 - 2; -2 + 2\sqrt{3}) = (-5; -2 + 2\sqrt{3}) \] \[ C(-3 - 2; -2 - 2\sqrt{3}) = (-5; -2 - 2\sqrt{3}) \] Ezek adják a keresett csúcsok pontos koordinátáit.

A két adott egyenes párhuzamos. Jelölje a keresett egyenessel vett metszéspontjaikat \( A(a; 4-a) \) és \( B(b; 6-b) \). A feladat feltétele szerint a két pont első koordinátájának eltérése 3, azaz \( |a - b| = 3 \).

A keresett egyenes átmegy a \( P(2; 5) \), az \( A \) és a \( B \) pontokon is. Számítsuk ki a \( AB \) szakasz iránytényezőjét (\(m\)): \[ m = \frac{(6 - b) - (4 - a)}{b - a} = \frac{2 - (b - a)}{b - a} \] Mivel \( |a - b| = 3 \), két eset lehetséges: \( b - a = 3 \), vagy \( b - a = -3 \).

1. eset: Ha \( b - a = 3 \): \[ m = \frac{2 - 3}{3} = -\frac{1}{3} \] Az egyenes áthalad a \( P(2; 5) \) ponton, így az egyenlete: \[ y - 5 = -\frac{1}{3}(x - 2) \implies 3y - 15 = -x + 2 \implies x + 3y = 17 \]

2. eset: Ha \( b - a = -3 \): \[ m = \frac{2 - (-3)}{-3} = -\frac{5}{3} \] Az egyenes egyenlete: \[ y - 5 = -\frac{5}{3}(x - 2) \implies 3y - 15 = -5x + 10 \implies 5x + 3y = 25 \]

Két ilyen egyenes létezik, ezek egyenletei tehát: \( x + 3y = 17 \) és \( 5x + 3y = 25 \).

Mivel az egyenes áthalad a \( (2; 6) \) ponton, érvényes a \( 6 = 2a + b \) összefüggés, amelyből \( b = 6 - 2a \).
Az egyenes metszéspontjai a tengelyekkel: \( Q \) pont az \(y\) tengelyen: \( (0; b) \). Mivel \( a < 0 \), a kifejezés \( b = 6 - 2a > 0 \).
\( P \) pont az \(x\) tengelyen: ahol \( y = 0 \), azaz \( 0 = ax + b \implies x = -\frac{b}{a} \). Mivel \( a < 0 \) és \( b > 0 \), \( x > 0 \).

Az \(OPQ\) derékszögű háromszög területe a befogók szorzatának fele: \[ T(a) = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \left(-\frac{b}{a}\right) = -\frac{b^2}{2a} \] Helyettesítsük be a \( b = 6 - 2a \) összefüggést: \[ T(a) = -\frac{(6 - 2a)^2}{2a} = -\frac{36 - 24a + 4a^2}{2a} = -\frac{18}{a} + 12 - 2a \]

A minimum megkereséséhez alkalmazzuk a számtani-mértani közép egyenlőtlenséget a pozitív \(-\frac{18}{a}\) és \(-2a\) tagokra: \[ -\frac{18}{a} + (-2a) \ge 2\sqrt{\left(-\frac{18}{a}\right)(-2a)} = 2\sqrt{36} = 12 \] Így a terület minimuma: \( T_{min} = 12 + 12 = 24 \).

Az egyenlőség feltétele az egyenlőtlenségben: \( -\frac{18}{a} = -2a \implies a^2 = 9 \).
Mivel \( a < 0 \), ezért \( a = -3 \).
Ekkor a tengelymetszet: \( b = 6 - 2(-3) = 12 \).

A keresett egyenes egyenlete: \( y = -3x + 12 \).

A feladat megoldásához felírjuk a csúcsból kiinduló vektorokat: \[ \vec{BA} = (2 - 7; 1 - (-4)) = (-5; 5) \] \[ \vec{BC} = (11 - 7; p - (-4)) = (4; p + 4) \]

A két vektor által bezárt szög \( 60^\circ \). Alkalmazzuk a skaláris szorzat definícióit: \[ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos 60^\circ \] A skaláris szorzat koordinátákkal kiszámolva: \[ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-5)(4) + 5(p + 4) = -20 + 5p + 20 = 5p \] A vektorok hosszai: \[ |\vec{BA}| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] \[ |\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + (p + 4)^2} = \sqrt{p^2 + 8p + 32} \]

Tudjuk, hogy \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \). Az egyenlet a következő lesz: \[ 5p = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{p^2 + 8p + 32} \cdot \frac{1}{2} \] Rendezve és négyzetre emelve (figyelembe véve, hogy \( p > 0 \) kell legyen, különben a skaláris szorzat negatív lenne): \[ 2p = \sqrt{2(p^2 + 8p + 32)} \] \[ 4p^2 = 2(p^2 + 8p + 32) \implies 4p^2 = 2p^2 + 16p + 64 \] \[ 2p^2 - 16p - 64 = 0 \implies p^2 - 8p - 32 = 0 \]

A másodfokú egyenlet megoldóképletével: \[ p_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4(1)(-32)}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{192}}{2} = 4 \pm 4\sqrt{3} \] Mivel feltétel volt, hogy a skaláris szorzat (vagyis \( 5p \)) pozitív legyen, az eredmény csak a pozitív gyök lehet, azaz: \[ p = 4 + 4\sqrt{3} \]

A köré írt kör középpontja \( K(3; 2) \), sugara \( r = 10 \). A szimmetriatengely (\( y = 2x - 4 \)) átmegy a \(K\) ponton.

Az \(AB\) alap merőleges a szimmetriatengelyre, így annak meredeksége \( m = -\frac{1}{2} \). Az alap egyenlete a rajta fekvő \( P(-5; 1) \) ponton keresztül: \[ y - 1 = -\frac{1}{2}(x + 5) \implies x + 2y = -3 \implies x = -2y - 3 \] A trapéz \(A\) és \(B\) csúcsait ezen egyenes és a kör metszéspontjai adják: \[ (-2y - 3 - 3)^2 + (y - 2)^2 = 100 \implies (-2y - 6)^2 + (y - 2)^2 = 100 \] \[ 4y^2 + 24y + 36 + y^2 - 4y + 4 = 100 \implies 5y^2 + 20y - 60 = 0 \implies y^2 + 4y - 12 = 0 \] Az egyenlet gyökei \( y = 2 \) és \( y = -6 \).
Ha \( y = 2 \), akkor \( x = -7 \). Ha \( y = -6 \), akkor \( x = 9 \).
Így az alap két végpontja: \( A(-7; 2) \) és \( B(9; -6) \).

A feladat szerint a \( BC \) szár hossza \( 10\sqrt{2} \). A kör sugara 10 egység, így észrevehető, hogy a szár a körben olyan húr, melyre felírható a Pitagorasz-tétel: \( 10^2 + 10^2 = (10\sqrt{2})^2 \). Ez azt jelenti, hogy a \(BC\) húrhoz tartozó középponti szög \( 90^\circ \).

A \(C\) pont a \(K\) pont körüli \( \pm 90^\circ \)-os forgatással kapható meg a \(B\) pontból: A \(\vec{KB}\) vektor \( (6; -8) \). Ezt \( \pm 90^\circ \)-kal forgatva az \( (8; 6) \) és a \( (-8; -6) \) vektorokat kapjuk. Ebből a \(C\) pont két lehetséges helye: \[ C_1(3+8; 2+6) = (11; 8) \] \[ C_2(3-8; 2-6) = (-5; -4) \] Mindkét eset érvényes trapézt határoz meg, aminek \( CD \) oldala párhuzamos \( AB \)-vel. A szimmetria alapján a megfelelő \(D\) csúcsok:
1. megoldás: \( A(-7; 2) \), \( B(9; -6) \), \( C(11; 8) \), \( D(-9; 18) \).
2. megoldás: \( A(-7; 2) \), \( B(9; -6) \), \( C(-5; -4) \), \( D(7; -10) \).
(A betűzés iránya miatt felcserélhetők.)

a) Legyenek a csúcsok \( A(0; a) \) és \( B(b; 0) \). Az \(AB\) szakasz vektora: \( \vec{AB} = (b; -a) \).
Az \(AB\) szakasz \(F\) felezőpontja \( F\left(\frac{b}{2}; \frac{a}{2}\right) \). A négyzet \(K\) középpontja megkapható, ha az \(F\)-ből felmérünk a szakaszra merőleges vektort, melynek hossza épp az oldal fele.
A \( \vec{AB} \) vektorra merőleges, fele olyan hosszú vektor a \( \left(\frac{a}{2}; \frac{b}{2}\right) \) vagy \( \left(-\frac{a}{2}; -\frac{b}{2}\right) \).
Így a középpont helyvektora: \[ K = F \pm \vec{FK} = \left( \frac{b}{2} \pm \frac{a}{2}; \frac{a}{2} \pm \frac{b}{2} \right) \] A felső előjelet használva: \( K\left( \frac{a+b}{2}; \frac{a+b}{2} \right) \) — itt a koordináták megegyeznek.
Az alsó előjelet használva: \( K\left( \frac{b-a}{2}; \frac{a-b}{2} \right) \) — itt a koordináták egymás ellentettjei. Ezzel az állítást beláttuk.

b) A megadott \( K(7; 7) \) középpont olyan, amelynek koordinátái megegyeznek. Tehát: \[ \frac{a + b}{2} = 7 \implies a + b = 14 \implies b = 14 - a \] Tudjuk, hogy a négyzet oldala 10 egység, azaz a Pitagorasz-tétel szerint a tengelyeken vett csúcsok távolságának négyzete: \[ a^2 + b^2 = 100 \] Helyettesítsük be \( b \)-t: \[ a^2 + (14 - a)^2 = 100 \implies 2a^2 - 28a + 196 = 100 \implies 2a^2 - 28a + 96 = 0 \] Egyszerűsítve az egyenlet \( a^2 - 14a + 48 = 0 \), aminek gyökei \( a = 6 \) és \( a = 8 \).
Ha \( a = 6 \), akkor \( b = 8 \). Ha \( a = 8 \), akkor \( b = 6 \).
A két csúcs koordinátái tehát \( A(0; 6) \) és \( B(8; 0) \), vagy \( A(0; 8) \) és \( B(6; 0) \).

a) A \(B\) csúcsnál lévő szög kiszámításához felírjuk a \(\vec{BA}\) és \(\vec{BC}\) vektorokat: \[ \vec{BA} = (-16 - 2; 10 - 4) = (-18; 6) \] \[ \vec{BC} = (10 - 2; 2 - 4) = (8; -2) \] A két vektor skaláris szorzata: \[ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-18)(8) + (6)(-2) = -144 - 12 = -156 \] A vektorok hossza: \[ |\vec{BA}| = \sqrt{(-18)^2 + 6^2} = \sqrt{324 + 36} = \sqrt{360} \] \[ |\vec{BC}| = \sqrt{8^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} \] A közbezárt szög koszinusza: \[ \cos \beta = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{-156}{\sqrt{360} \cdot \sqrt{68}} \approx -0.9965 \] Ebből a szög: \( \beta \approx 175.2^\circ \).

b) A \( K \) pont a háromszög köré írható körének középpontja, így az oldalfelező merőlegesek metszéspontja.
Az \(AB\) szakasz felezőpontja \( F_{AB}\left(\frac{-16+2}{2}; \frac{10+4}{2}\right) = F_{AB}(-7; 7) \).
Az \(AB\) szakasz egy normálvektora a \(\vec{BA}\) vektor, ami \( (-18; 6) \), egyszerűsítve \( (3; -1) \).
Az \(AB\) felező merőlegesének egyenlete: \( 3x - y = 3(-7) - 7 \implies 3x - y = -28 \).

A \(BC\) szakasz felezőpontja \( F_{BC}\left(\frac{2+10}{2}; \frac{4+2}{2}\right) = F_{BC}(6; 3) \).
A \(BC\) szakasz egy normálvektora a \(\vec{BC}\) vektor, ami \( (8; -2) \), egyszerűsítve \( (4; -1) \).
A \(BC\) felező merőlegesének egyenlete: \( 4x - y = 4(6) - 3 \implies 4x - y = 21 \).

Megoldjuk az egyenletrendszert: \[ 3x - y = -28 \] \[ 4x - y = 21 \] A másodikból kivonva az elsőt kapjuk, hogy \( x = 49 \). Ezt visszahelyettesítve: \( 4(49) - y = 21 \implies 196 - 21 = y \implies y = 175 \).
A keresett pont koordinátái: \( K(49; 175) \).

a) Osztjuk az egyenletet 5-tel: \[ x^2 + y^2 - 2.8x + 4.4y - 2.2 = 0 \] Teljes négyzetté alakítunk: \[ (x - 1.4)^2 - 1.96 + (y + 2.2)^2 - 4.84 - 2.2 = 0 \] \[ (x - 1.4)^2 + (y + 2.2)^2 = 9 \] A kör középpontja: \( (1.4; -2.2) \), sugara: \( 3 \).

b) A \( KA \) szakasz irányvektora adja a keresett \( e \) egyenes normálvektorát: \[ \vec{n}_e = \vec{KA} = (-4 - (-5); 14 - 7) = (1; 7) \] Az egyenes áthalad az \( A(-4; 14) \) ponton, egyenlete: \[ x + 7y = -4 + 7(14) \implies x + 7y = 94 \]

c) A húr hossza a Pitagorasz-tétellel számolható. A kör középpontjának az egyenestől mért távolsága éppen a \( KA \) szakasz hossza: \[ d = |\vec{KA}| = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{50} \] A húr felét (\( x \)) a derékszögű háromszögből kapjuk (ahol az átfogó a sugár, \( R=10 \)): \[ x = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{100 - 50} = \sqrt{50} \] A húr teljes hossza: \( 2\sqrt{50} = 10\sqrt{2} \) egység.

d) A \( k \) kör egyenlete: \( (x+5)^2 + (y-7)^2 = 100 \).
Rácspontok kereséséhez azokat a négyzetszámokat keressük, melyek összege 100. Ezek a \((0, 100)\) és a \((36, 64)\). Ebből a koordináta-különbségek: \[ |x+5| = 0, |y-7| = 10 \implies 2 \text{ pont} \] \[ |x+5| = 10, |y-7| = 0 \implies 2 \text{ pont} \] \[ |x+5| = 6, |y-7| = 8 \implies 4 \text{ pont} \] \[ |x+5| = 8, |y-7| = 6 \implies 4 \text{ pont} \] Összesen 12 ilyen rácspont van.

a) Az érintő meredeksége megegyezik a függvény deriváltjának értékével az érintési pontban: \[ f'(x) = 2x - 12 \] Az \( x = 5 \) helyen a meredekség: \[ m = f'(5) = 2(5) - 12 = -2 \] Az érintő egyenlete, amely átmegy az \( E(5; -8) \) ponton: \[ y - (-8) = -2(x - 5) \] \[ y + 8 = -2x + 10 \implies y = -2x + 2 \]

b) A parabola fókuszpontjának megkereséséhez alakítsuk a függvényt teljes négyzetté, hogy leolvassuk a tengelypontját: \[ y = x^2 - 12x + 27 = (x - 6)^2 - 36 + 27 = (x - 6)^2 - 9 \] A parabola tengelypontja tehát a \( V(6; -9) \) pont.
Egy felfelé nyitott parabola általános egyenlete \( y - v = \frac{1}{2p}(x - u)^2 \), ahol a fókuszpont távolsága a tengelyponttól \( p/2 \). A mi egyenletünkben az együttható \( 1 \), így: \[ \frac{1}{2p} = 1 \implies 2p = 1 \implies p = \frac{1}{2} \] A fókuszpont a tengelyponton felül helyezkedik el \( p/2 = 1/4 = 0.25 \) távolságra: \[ F(6; -9 + 0.25) \implies F(6; -8.75) \] A fókuszpont koordinátái tehát \( (6; -8.75) \) vagy tört alakban \( \left(6; -\frac{35}{4}\right) \).

a) A téglalap köré írható kör középpontja az átlók metszéspontja, ami az \( AC \) szakasz felezőpontja: \[ K\left(\frac{0+30}{2}; \frac{0+48}{2}\right) = (15; 24) \] A kör sugarának négyzete a középpont és az origó távolságának négyzete: \[ R^2 = 15^2 + 24^2 = 225 + 576 = 801 \] A kör egyenlete: \( (x - 15)^2 + (y - 24)^2 = 801 \).

b) Alakítsuk át a dísztér körének egyenletét: \[ (x - 18)^2 - 324 + (y - 24)^2 - 576 + 819 = 0 \implies (x - 18)^2 + (y - 24)^2 = 81 \] A dísztér köre egy \( r = 9 \) sugarú kör, területe \( T_{\text{kör}} = 81\pi \).
A téglalap alakú park területe \( T_{\text{park}} = 30 \times 48 = 1440 \).
A százalékos arány: \( \frac{81\pi}{1440} \cdot 100 \approx \) \( 17,67\% \).

c) A sétaút a \( C(30; 48) \) és \( P(18; 24) \) pontokon halad át. Irányvektora \( \vec{v} = \vec{PC} = (12; 24) \), amiből a meredekség \( m = \frac{24}{12} = 2 \).
Az egyenes egyenlete: \( y - 48 = 2(x - 30) \implies \) \( y = 2x - 12 \).
A szakasz parkbeli része a téglalap határain belüli szakasz. Az egyenes a \( C(30; 48) \) pontban lép be. Meg kell nézni, hol metszi az \( x \) tengelyt (az \( AB \) oldalt):
Ha \( y = 0 \), akkor \( 2x - 12 = 0 \implies x = 6 \). A metszéspont \( Q(6; 0) \), ami valóban az \( AB \) szakaszon van (\( 0 \le 6 \le 30 \)).
A sétaút hossza a koordináta-rendszerben a \( CQ \) szakasz hossza: \[ CQ = \sqrt{(30 - 6)^2 + (48 - 0)^2} = \sqrt{24^2 + 48^2} = \sqrt{576 + 2304} = \sqrt{2880} = 24\sqrt{5} \approx 53,67 \text{ egység} \] Mivel 1 egység a valóságban 10 méter, a sétaút valódi hossza: \( 53,67 \times 10 \approx \) \( 536,7 \) méter.

a) Helyettesítsük be az \( E(-7; 5) \) pont koordinátáit a kör egyenletébe: \[ (-7)^2 + 5^2 + 4(-7) - 16(5) + 34 = 49 + 25 - 28 - 80 + 34 = 108 - 108 = 0 \] Mivel az egyenlőség teljesül, a pont valóban a körön van.

b) Hozzuk a kör egyenletét teljes négyzetes alakra: \[ (x + 2)^2 - 4 + (y - 8)^2 - 64 + 34 = 0 \implies (x + 2)^2 + (y - 8)^2 = 34 \] A kör középpontja \( K(-2; 8) \). Az érintő normálvektora az érintési ponthoz húzott sugárvektor: \[ \vec{n} = \vec{KE} = (-7 - (-2); 5 - 8) = (-5; -3) \] Ennek egy egyszerűbb, azonos irányú vektora a \( (5; 3) \). Az érintő egyenlete az \( E(-7; 5) \) ponton áthaladva: \[ 5x + 3y = 5(-7) + 3(5) \implies \mathbf{5x + 3y = -20} \]

c) Az \( e \) egyenes egyenlete általános alakban \( mx - y = 0 \). Akkor nincs közös pontja a körrel, ha a kör középpontjától \( K(-2; 8) \) vett távolsága nagyobb a sugárnál (\( R = \sqrt{34} \)): \[ d = \frac{|m(-2) - 8|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} > \sqrt{34} \] Mivel mindkét oldal pozitív, négyzetre emelhetünk: \[ (-2m - 8)^2 > 34(m^2 + 1) \] \[ 4m^2 + 32m + 64 > 34m^2 + 34 \] Rendezve a másodfokú egyenlőtlenséget: \[ 30m^2 - 32m - 30 < 0 \implies 15m^2 - 16m - 15 < 0 \] Számítsuk ki a \( 15m^2 - 16m - 15 = 0 \) egyenlet gyökeit: \[ m_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4(15)(-15)}}{30} = \frac{16 \pm \sqrt{1156}}{30} = \frac{16 \pm 34}{30} \] Gyökök: \( m_1 = \frac{50}{30} = \frac{5}{3} \), \( m_2 = -\frac{18}{30} = -\frac{3}{5} \).
A másodfokú kifejezés a két gyök között negatív, így az \( m \) paraméter lehetséges értékei: \( -\frac{3}{5} < m < \frac{5}{3} \).

a) Jelöljük a háromszög oldalait \( a, a, b \)-vel. Mivel az átlag 10, ezért \( \frac{2a + b}{3} = 10 \), vagyis \( b = 30 - 2a \).
A szórás \( 3\sqrt{2} \), így a szórásnégyzet (variancia) \( 18 \). Felírva a variancia képletét: \[ \frac{2(a - 10)^2 + (b - 10)^2}{3} = 18 \implies 2(a - 10)^2 + (b - 10)^2 = 54 \] Helyettesítsük be \( b = 30 - 2a \)-t: \[ 2(a - 10)^2 + (20 - 2a)^2 = 54 \implies 2(a - 10)^2 + 4(10 - a)^2 = 54 \] \[ 6(a - 10)^2 = 54 \implies (a - 10)^2 = 9 \] A megoldások: \( a - 10 = \pm 3 \), amiből \( a_1 = 13 \) és \( a_2 = 7 \).
Ha \( a = 13 \), akkor \( b = 30 - 26 = 4 \). Ez valós háromszög (\( 13+13>4 \)).
Ha \( a = 7 \), akkor \( b = 30 - 14 = 16 \). Ez nem lehet háromszög, mert \( 7 + 7 < 16 \).
A háromszög oldalai tehát: \( 13, 13, 4 \).

b) Először határozzuk meg a megadott \( ABC \) háromszög adatait:
A csúcsok távolságai: \( AB = 12 \), \( AC = \sqrt{6^2+8^2} = 10 \), \( BC = \sqrt{6^2+8^2} = 10 \).
A háromszög kerülete: \( 12 + 10 + 10 = 32 \). A fele 16.
A háromszög területe (alapja az x-tengelyen, magassága 8): \( T = \frac{12 \cdot 8}{2} = 48 \). A fele 24.

Most vizsgáljuk meg az \( e \) egyenest: \( 3x - 4y = -12 \), amiből \( y = 0,75x + 3 \). Keresztezze ez a háromszög oldalait!
Metszéspont az \( AB \) alappal (\( y=0 \)): \[ 3x = -12 \implies x = -4 \implies P(-4; 0) \] Metszéspont a \( BC \) oldallal (a \( BC \) egyenese átmegy a \( (6;0) \) és \( (0;8) \) pontokon, egyenlete \( 4x + 3y = 24 \)):
Megoldandó az egyenletrendszer: \[ 3x - 4y = -12 \] \[ 4x + 3y = 24 \] Kifejezve és megoldva kapjuk: \( x = 2,4 \), \( y = 4,8 \), így a metszéspont \( Q(2,4; 4,8) \).

Ellenőrizzük a levágott \( PBQ \) háromszög kerületét. Az eredeti háromszög határára eső része: \( PB + BQ \). \[ PB = 6 - (-4) = 10 \] \[ BQ = \sqrt{(6 - 2,4)^2 + (0 - 4,8)^2} = \sqrt{12,96 + 23,04} = 6 \] A \( PB + BQ \) rész hossza \( 10 + 6 = 16 \), ami pontosan a teljes \( ABC \) kerületének a fele, tehát a belső vágóvonal valóban megfelezi a kerületet.
Ellenőrizzük a \( PBQ \) területét:
A \( PB \) alap hossza 10, a \( Q \) pont y-koordinátája adja a magasságot, ami \( 4,8 \). \[ T_{PBQ} = \frac{10 \cdot 4,8}{2} = 24 \] Ez pontosan az \( ABC \) területének fele. Ezzel az állítást igazoltuk.

b) Határozzuk meg a vektorok koordinátáit, ha \( H(-1,8; 0) \): \[ \vec{PH} = (-1,8 - (-2); 0 - 0) = (0,2; 0) \] \[ \vec{RH} = (-1,8 - 0; 0 - 5) = (-1,8; -5) \] A skaláris szorzat a megfelelő koordináták szorzatának összege: \[ \vec{PH} \cdot \vec{RH} = 0,2 \cdot (-1,8) + 0 \cdot (-5) = -0,36 \]

c) Mivel H a \( PQ \) szakaszon van, y-koordinátája 0, és x-koordinátája \([-2; 6]\) között mozoghat. Tehát \( H(x; 0) \), ahol \( -2 \le x \le 6 \).

Írjuk fel a vektorokat \( x \) függvényében: \[ \vec{PH} = (x + 2; 0) \] \[ \vec{RH} = (x; -5) \] A skaláris szorzat függvénye: \[ f(x) = \vec{PH} \cdot \vec{RH} = (x+2)x + 0 \cdot (-5) = x^2 + 2x \] Ennek a másodfokú függvénynek keressük az extrémumait a \([-2; 6]\) zárt intervallumon. Alakítsuk teljes négyzetté: \[ f(x) = (x+1)^2 - 1 \]

• Minimum: A parabola csúcspontja \( x = -1 \)-nél van, ami benne van az értelmezési tartományban. Így a skaláris szorzat akkor minimális, ha \( H(-1; 0) \).
• Maximum: A csúcsponttól legtávolabb eső végponton veszi fel a maximumát. Az intervallum két széle \( x = -2 \) (távolság: 1) és \( x = 6 \) (távolság: 7). A maximum tehát az \( x = 6 \) helyen van, a pont: \( H(6; 0) \) (ami pont egybeesik Q-val).

A parabola általános egyenlete: \( y = ax^2 + bx + c \)

Mivel a parabola áthalad a \( P(0; 2) \) ponton, a koordinátákat behelyettesítve megkapjuk az y-tengelymetszetet: \[ 2 = a(0)^2 + b(0) + c \implies c = 2 \]

A \( P \) pontbeli érintő irányszöge 45°. Tudjuk, hogy a derivált értéke egy adott pontban megegyezik az érintő meredekségével (iránytangensével).
Az iránytangens: \( m = \tan(45^\circ) = 1 \).
A függvény deriváltja: \( y' = 2ax + b \).
Az \( x = 0 \) helyen felvett derivált adja meg a \( P \) pontbeli érintő meredekségét: \[ y'(0) = 2a(0) + b = b \] Tehát \( b = 1 \).

A parabola egyenlete eddig: \( y = ax^2 + x + 2 \).

A görbe áthalad a \( Q(4{,}6; 3) \) ponton is. Helyettesítsük be ezeket a koordinátákat: \[ 3 = a(4{,}6)^2 + 4{,}6 + 2 \] \[ 3 = 21{,}16a + 6{,}6 \] \[ -3{,}6 = 21{,}16a \] \[ a = -\frac{3{,}6}{21{,}16} = -\frac{360}{2116} = -\frac{90}{529} \approx -0{,}17 \]

A parabola keresett egyenlete tehát: \[ \mathbf{y = -\frac{90}{529}x^2 + x + 2} \]

a) Határozzuk meg a háromszög oldalainak hosszát a megadott koordináták alapján!

Az \( AB \) oldal hossza, mivel a pontok az x-tengelyen vannak: \[ c = 82 - 0 = 82 \] Az \( AC \) oldal hossza a távolságképlettel: \[ b = \sqrt{(41 - 0)^2 + (71 - 0)^2} = \sqrt{1681 + 5041} = \sqrt{6722} \approx 81{,}9878 \] A \( BC \) oldal hossza: \[ a = \sqrt{(41 - 82)^2 + (71 - 0)^2} = \sqrt{(-41)^2 + 71^2} = \sqrt{6722} \approx 81{,}9878 \]

Látható, hogy \( a = b \neq c \), így a háromszög valóban egyenlőszárú, de nem szabályos, ahogy Géza gondolta. A \( C \) csúcsból az \( AB \) alapra bocsátott magasság talppontja az alap felezőpontja, \( T(41; 0) \). A magasság hossza \( m = 71 \).

Az \( A \) csúcsnál lévő \( \alpha \) szög (amely egyenlő a \( B \) csúcsnál lévő \( \beta \) szöggel) egy derékszögű háromszögből számítható: \[ \tan(\alpha) = \frac{71}{41} \implies \mathbf{\alpha = \beta \approx 59{,}997^\circ} \] A \( C \) csúcsnál lévő szög: \[ \gamma = 180^\circ - 2\alpha \approx 180^\circ - 119{,}994^\circ = \mathbf{60{,}006^\circ} \]

b) Az \( AC \) és \( AB \) oldalak aránya: \[ \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{6722}}{82} \approx \frac{81{,}987804}{82} \approx \mathbf{0{,}9999} \]

a) A kör egyenlete \( (x - u)^2 + (y - v)^2 = r^2 \) alakú. Ebből leolvasható a kör középpontja: \( K(0; 3) \).

A parabola egyenletét alakítsuk át a tengelypontos alakhoz: \( 2y = -x^2 + 16 \implies y = -\frac{1}{2}x^2 + 8 \). A parabola tengelypontja (csúcsa) \( T(0; 8) \), és lefelé nyitott. A parabola általános paraméteres egyenlete \( x^2 = 2p(y - 8) \).
Esetünkben \( x^2 = -2(y - 8) \), amiből \( 2p = -2 \), azaz a paraméter \( p = -1 \). A fókuszpont \( p/2 \)-vel (azaz \( -0{,}5 \)-tel) található a csúcspont "alatt" az y-tengelyen. A fókuszpont koordinátái tehát: \( F(0; 7{,}5) \).

b) Először ellenőrizzük a Q pont illeszkedését a két görbére behelyettesítéssel:

• Körbe: \( (2\sqrt{2})^2 + (4 - 3)^2 = 8 + 1^2 = 9 \). Az egyenlőség igaz, a kör átmegy a Q ponton.
• Parabolába: \( (2\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 4 = 8 + 8 = 16 \). Az egyenlőség igaz, a parabola átmegy a Q ponton.

Ezután írjuk fel a kör Q pontbeli érintőjének egyenletét. Az érintő merőleges a kör sugarára, így a \( KQ \) vektor az érintő normálvektora lesz: \[ \vec{n}_{e} = \vec{KQ} = (2\sqrt{2} - 0; 4 - 3) = (2\sqrt{2}; 1) \] Az érintőegyenes egyenlete: \[ 2\sqrt{2}x + 1y = 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} + 1 \cdot 4 \implies 2\sqrt{2}x + y = 12 \implies y = 12 - 2\sqrt{2}x \]

Hogy belássuk, ez az egyenes a parabolát is érinti, meg kell vizsgálnunk a közös pontjaik számát, azaz be kell helyettesítenünk az egyenes egyenletét a parabola egyenletébe: \[ x^2 + 2(12 - 2\sqrt{2}x) = 16 \] \[ x^2 - 4\sqrt{2}x + 24 = 16 \] \[ x^2 - 4\sqrt{2}x + 8 = 0 \] A másodfokú egyenlet diszkriminánsa: \[ \Delta = (-4\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 32 - 32 = 0 \] Mivel a diszkrimináns nulla, az egyenletrendszernek pontosan egy (kétszeres) megoldása van, tehát a kör érintője a parabolát is egyetlen pontban érinti (ami a megadott Q pont).

a) A kör sugara megegyezik a C és P pontok távolságával: \[ r = |CP| = \sqrt{(-3 - (-6))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \] A kör egyenlete a középpontjával (\( C \)) és sugarával (\( r=5 \)): \[ (x + 6)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]

b) Az érintő merőleges a kör sugarára, azaz a CP szakaszra. Az érintőegyenes normálvektora tehát maga a \( \vec{CP} \) vektor: \[ \vec{n} = \vec{CP} = (3; 4) \] Az egyenes áthalad a \( P(-3; 2) \) ponton. A normálvektoros egyenlet felírása: \[ 3x + 4y = 3(-3) + 4(2) \] \[ 3x + 4y = -9 + 8 \implies \mathbf{3x + 4y = -1} \]

c) Először határozzuk meg a CP egyenes egyenletét. Az egyenes átmegy a \( C(-6; -2) \) és \( P(-3; 2) \) pontokon. Az irányvektora \( \vec{v} = (3; 4) \), így a meredeksége \( m = \frac{4}{3} \). Az egyenes egyenlete a P ponttal: \[ y - 2 = \frac{4}{3}(x + 3) \implies 3y - 6 = 4x + 12 \implies \mathbf{4x - 3y = -18} \] Megkeressük a koordinátatengelyekkel való metszéspontokat:

• x-tengellyel (\( y = 0 \)): \( 4x = -18 \implies x = -4{,}5 \). Metszéspont: \( A(-4{,}5; 0) \)
• y-tengellyel (\( x = 0 \)): \( -3y = -18 \implies y = 6 \). Metszéspont: \( B(0; 6) \)

A feladat által említett háromszög csúcsai az origó (\( O(0; 0) \)) és az \( A \) valamint \( B \) pontok. Mivel a koordinátatengelyek merőlegesek egymásra, ez egy derékszögű háromszög. Thálész-tétele értelmében a derékszögű háromszög köré írható körének középpontja az átfogó felezőpontja, a kör átmérője pedig éppen az átfogó hossza.

Az átfogó hossza (az A és B pontok távolsága): \[ |AB| = \sqrt{(-4{,}5 - 0)^2 + (0 - 6)^2} = \sqrt{20{,}25 + 36} = \sqrt{56{,}25} = 7{,}5 \] A köré írható kör sugara ennek a fele: \[ R = \frac{7{,}5}{2} = \mathbf{3{,}75} \]

a) Először határozzuk meg a megadott egyenes y koordinátáját az \( x = 4 \) helyen: \[ y = \frac{1}{3} \cdot 4 + \frac{5}{3} = \frac{4}{3} + \frac{5}{3} = \frac{9}{3} = 3 \] A függőleges távolság a megadott pont y-koordinátájának és az egyenesen felvett y-értéknek az eltérése (abszolút értéke):
R pont esetén: \( |2 - 3| = \mathbf{1} \)
S pont esetén: \( |5 - 3| = \mathbf{2} \)

b) Írjuk fel a három ponthoz tartozó függőleges távolságok abszolút értékét az \( y = mx \) egyenes esetén:

• A(1; 3) távolsága: \( d_A = |m \cdot 1 - 3| = |m - 3| \)
• B(3; 5) távolsága: \( d_B = |m \cdot 3 - 5| = |3m - 5| \)
• C(4; 4) távolsága: \( d_C = |m \cdot 4 - 4| = |4m - 4| \)

Ezek négyzetösszege minimalizálandó. Írjuk fel a négyzetösszeget megadó \( f(m) \) függvényt: \[ f(m) = (m - 3)^2 + (3m - 5)^2 + (4m - 4)^2 \] Bontsuk fel a zárójeleket a nevezetes azonosságok alapján: \[ f(m) = (m^2 - 6m + 9) + (9m^2 - 30m + 25) + (16m^2 - 32m + 16) \] Vonjuk össze a megfelelő tagokat: \[ f(m) = 26m^2 - 68m + 50 \] Ez egy felfelé nyitott másodfokú parabola (mivel a főegyüttható \( 26 > 0 \)), amely a csúcspontjában veszi fel a legkisebb értékét. A csúcspont \( m \)-koordinátája a másodfokú függvény szélsőértékhelyének képletével (\( -\frac{b}{2a} \)) számítható: \[ m = -\frac{-68}{2 \cdot 26} = \frac{68}{52} = \mathbf{\frac{17}{13}} \] Tehát az optimális meredekség \( m = \frac{17}{13} \) (vagy más alakban \( 1\frac{4}{13} \)).

a) Alakítsuk teljes négyzetté a kör egyenletét:

\[ x^2 - 4x + y^2 - 12y = 13 \]

\[ (x - 2)^2 - 4 + (y - 6)^2 - 36 = 13 \]

\[ (x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 53 \]

Ebből leolvasható, hogy a kör középpontja \( K_1(2; 6) \), sugara pedig \( r_1 = \sqrt{53} \).

b) A húrtrapéz magassága a két párhuzamos alap távolsága. Vizsgáljuk meg az oldalak irányvektorait:

\[ \vec{AB} = (-5 - 4; 4 - 13) = (-9; -9) \]

\[ \vec{DC} = (4 - 9; -1 - 4) = (-5; -5) \]

Mivel a két vektor egyirányú (mindkettő az \( (1; 1) \) vektor skalárszorosa), az \( AB \) és \( CD \) oldalak párhuzamosak, ezek a trapéz alapjai.

A magasság egyenlő a \( C \) pont és az \( AB \) egyenes távolságával. Az \( AB \) egyenes egy normálvektora \( \vec{n} = (1; -1) \), a rajta lévő pont \( A(4; 13) \). Az egyenes egyenlete: \( x - y = 4 - 13 \), azaz \( x - y + 9 = 0 \).

A \( C(4; -1) \) pont távolsága az egyenestől:

\[ m = \frac{|4 - (-1) + 9|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{14}{\sqrt{2}} = 7\sqrt{2} \]

A trapéz magassága \( 7\sqrt{2} \).

A szögek meghatározásához számoljuk ki a \( D \) csúcsnál lévő szöget a \( \vec{DA} = (-5; 9) \) és \( \vec{DC} = (-5; -5) \) vektorok skaláris szorzatával:

\[ \vec{DA} \cdot \vec{DC} = (-5)(-5) + 9(-5) = 25 - 45 = -20 \]

\[ |\vec{DA}| = \sqrt{25+81} = \sqrt{106}, \quad |\vec{DC}| = \sqrt{25+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

\[ \cos \alpha = \frac{-20}{\sqrt{106} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{-20}{10\sqrt{53}} = -\frac{2}{\sqrt{53}} \approx -0,2747 \]

Ebből a tompaszög \( \alpha \approx 105,9^\circ \). A húrtrapéz alapon fekvő szögei egyenlők, így a trapéz szögei: \( 74,1^\circ \) és \( 105,9^\circ \).

c) Keressük azokat az egész \( (x; y) \) számpárokat, melyekre \( x^2 + y^2 = 53 \).

Mivel az egész négyzetszámok sora: \( 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, \dots \), látható, hogy \( 53 = 4 + 49 = 2^2 + 7^2 \). Más egész négyzetszámok összegeként az 53 nem írható fel.

A lehetséges \( (x; y) \) számpárok tehát a 2, -2, 7, -7 értékekből állnak elő:

\( (2; 7), (2; -7), (-2; 7), (-2; -7), (7; 2), (7; -2), (-7; 2), (-7; -2) \).

Összesen 8 ilyen rácspont található a körön.

a) Mivel a kör középpontja az \( y \) tengelyen van, koordinátái \( K(0; y_0) \) alakúak.

A kör illeszkedik az \( A \) és \( B \) pontokra, tehát a \( K \) pont egyenlő távolságra van mindkét ponttól: \( KA = KB \), amiből \( KA^2 = KB^2 \) is következik.

Felírva a távolságnégyzeteket:

\[ (5 - 0)^2 + (14 - y_0)^2 = (7 - 0)^2 + (6 - y_0)^2 \]

\[ 25 + 196 - 28y_0 + y_0^2 = 49 + 36 - 12y_0 + y_0^2 \]

Vonjunk ki mindkét oldalból \( y_0^2 \)-et, és vonjuk össze az állandókat:

\[ 221 - 28y_0 = 85 - 12y_0 \]

\[ 136 = 16y_0 \implies y_0 = 8,5 \]

A középpont tehát \( K(0; 8,5) \). Számítsuk ki a kör sugarának négyzetét (például a \( B \) ponttal):

\[ r^2 = (7 - 0)^2 + (6 - 8,5)^2 = 49 + (-2,5)^2 = 49 + 6,25 = 55,25 \]

A kör egyenlete így: \( x^2 + (y - 8,5)^2 = 55,25 \).

b) A parabola tengelypontja a megadott egyenletforma alapján az \( (u; v) \) koordinátájú pont. Mivel a feladat szerint ez a \( B(7; 6) \) pont, így \( u = 7 \) és \( v = 6 \).

Az egyenlet tehát felírható így: \( y = \frac{1}{2p}(x - 7)^2 + 6 \).

Mivel a parabola illeszkedik az \( A(5; 14) \) pontra, helyettesítsük be annak koordinátáit:

\[ 14 = \frac{1}{2p}(5 - 7)^2 + 6 \]

\[ 8 = \frac{1}{2p}(-2)^2 \]

\[ 8 = \frac{4}{2p} \implies 8 = \frac{2}{p} \]

Ebből átszorzással és osztással kapjuk, hogy \( p = 0,25 \) (azaz \( \frac{1}{4} \)).

a) Számítsuk ki az \( AB \) szakasz felezőpontját (\( F \)):

\[ F = \left( \frac{-12 + 6}{2}; \frac{21 + (-3)}{2} \right) = (-3; 9) \]

A felezőmerőleges normálvektora az \( \vec{AB} \) irányvektor is lehet:

\[ \vec{n} = \vec{AB} = (6 - (-12); -3 - 21) = (18; -24) \]

Ezt a vektort leoszthatjuk 6-tal, hogy egyszerűbb legyen a számolás: \( \vec{n}^* = (3; -4) \).

A felezőmerőleges egyenlete felírható az \( F(-3; 9) \) pont felhasználásával:

\[ 3x - 4y = 3 \cdot (-3) - 4 \cdot 9 \]

\[ 3x - 4y = -9 - 36 = -45 \]

Tehát az egyenlet: \( 3x - 4y = -45 \) (vagy \( y = 0,75x + 11,25 \)).

A felezőmerőleges meredeksége \( m = \frac{3}{4} = 0,75 \). Az x tengellyel bezárt irányszöget (\( \alpha \)) az \( \tan \alpha = 0,75 \) összefüggésből kapjuk:

\[ \alpha \approx 36,87^\circ \]

Mivel a derékszögű koordináta-rendszerben a tengelyek \( 90^\circ \)-ot zárnak be, az egyenes y tengellyel bezárt szöge: \( 90^\circ - 36,87^\circ = \) \( 53,13^\circ \).

b) Mivel a kör középpontja az y tengelyen van, koordinátái felírhatók \( K(0; y_0) \) alakban.

Tudjuk, hogy a kör átmegy a \( P(24; 6) \) ponton, és sugara \( R = 26 \). Az euklideszi távolságképlet alapján felírhatjuk a \( PK \) távolság négyzetét, amely a sugár négyzete lesz:

\[ (24 - 0)^2 + (6 - y_0)^2 = 26^2 \]

\[ 576 + (6 - y_0)^2 = 676 \]

\[ (6 - y_0)^2 = 100 \]

Gyökvonás után két lehetséges egyenletet kapunk:

\( 6 - y_0 = 10 \implies y_{0,1} = -4 \)

\( 6 - y_0 = -10 \implies y_{0,2} = 16 \)

Tehát két ilyen kör is létezik, ezek egyenletei:

\( x^2 + (y + 4)^2 = 676 \) és \( x^2 + (y - 16)^2 = 676 \).

a) Mivel ismerjük a parabola x tengellyel vett metszéspontjait (zérushelyeit), a parabola egyenlete felírható gyöktényezős alakban:

\[ y = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x + 3)(x - 4) \]

Azt is tudjuk, hogy az y tengelyt a \( (0; 6) \) pontban metszi. Ezt behelyettesítve meghatározhatjuk az \( a \) paramétert:

\[ 6 = a(0 + 3)(0 - 4) \]

\[ 6 = a \cdot 3 \cdot (-4) = -12a \implies a = -0,5 \]

A parabola egyenlete tehát: \( y = -0,5(x + 3)(x - 4) \), amit kifejtve az \( y = -0,5x^2 + 0,5x + 6 \) alakot kapjuk.

b) Számítsuk ki az érintési pont y koordinátáját az \( x = 4 \) helyettesítéssel:

\[ y_0 = 0,5(4)^2 - 2(4) - 6 = 8 - 8 - 6 = -6 \]

Az érintési pont tehát az \( E(4; -6) \).

Az érintő egyenletének felírásához szükségünk van a meredekségére (\( m \)). A parabola differenciálhányados függvénye:

\[ y' = 2 \cdot 0,5x - 2 = x - 2 \]

Az \( x = 4 \) helyen az érintő meredeksége: \( m = 4 - 2 = 2 \).

Az érintő egyenes egyenlete \( y - y_0 = m(x - x_0) \), behelyettesítve:

\[ y - (-6) = 2(x - 4) \]

\[ y + 6 = 2x - 8 \]

Rendezve: \( y = 2x - 14 \).