Deriválás

a) Konkáv az a függvény, melynek a második deriváltja a vizsgált intervallumon negatív (vagy vizuálisan lefelé hajlik). A $]-\infty; 7[$ intervallumon az A, D, E betűjelű függvények konkávok.
(Ellenőrzés: D) második deriváltja $6(x-7)$, amely $x<7$ esetén negatív; E) második deriváltja $\frac{2}{(x-7)^3}$, amely szintén negatív, ha $x<7$.)

b) A teljes síkidom területét határozott integrállal számoljuk ki: $$ T = \int_{1}^{7} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^7 = \frac{343}{3} - \frac{1}{3} = 114 $$ A keresett $x = p$ egyenes ezt a területet felezi, vagyis az $1$-től $p$-ig vett integrálnak $57$-nek kell lennie: $$ \int_{1}^{p} x^2 \, dx = 57 \implies \frac{p^3 - 1}{3} = 57 $$ $$ p^3 - 1 = 171 \implies p^3 = 172 \implies p = \sqrt[3]{172} \approx 5,56 $$ A keresett egyenes egyenlete tehát: $\mathbf{x = \sqrt[3]{172}}$.

c) Mivel a függvénynek $x=1$-ben és $x=7$-ben szélsőértéke van, ezért az első deriváltfüggvény, $g'(x) = 3x^2 + 2bx + c$ ezeken a helyeken nulla: $$ g'(1) = 3 + 2b + c = 0 $$ $$ g'(7) = 147 + 14b + c = 0 $$ Kivonva az első egyenletet a másodikból kapjuk: $$ 144 + 12b = 0 \implies \mathbf{b = -12} $$ Visszahelyettesítve $b$-t az első egyenletbe: $$ 3 - 24 + c = 0 \implies \mathbf{c = 21} $$ A függvény főegyütthatója pozitív ($x^3$), ezért a derivált parabola felfelé nyílik. Ez azt jelenti, hogy a kisebbik szélsőértékhelyen ($x=1$) derivált pozitívból negatívba vált, tehát itt van a lokális maximum. Ebből következik, hogy $g(1) = 6$. $$ g(1) = 1^3 - 12(1^2) + 21(1) + d = 6 $$ $$ 1 - 12 + 21 + d = 6 \implies 10 + d = 6 \implies \mathbf{d = -4} $$

a) A gyöktényezős alakot felhasználva a függvény egyenlete $f(x) = a(x+3)(x-4)$ formában írható fel. Az $y$-tengelymetszet miatt $f(0) = 6$ teljesül:

$$ a(0+3)(0-4) = 6 \implies -12a = 6 \implies a = -0,5 $$

A parabola egyenlete felbontva tehát $\mathbf{f(x) = -0,5x^2 + 0,5x + 6}$.

b) Az érintési pont y-koordinátája $g(4) = 0,5 \cdot 16 - 2 \cdot 4 - 6 = -6$. Az érintési pont koordinátái tehát $E(4; -6)$.
Az érintő meredeksége megegyezik a függvény $x=4$ pontjában vett deriváltjával: $g'(x) = x - 2 \implies g'(4) = 2$.
Az érintő iránytényezős egyenlete:

$$ y - (-6) = 2(x - 4) \implies \mathbf{y = 2x - 14} $$

c) A síkidomot határoló görbék metszéspontjait az alábbi egyenlet megoldásával kapjuk:

$$ 0,5x^2 - 2x - 6 = -2x + 2 \implies 0,5x^2 = 8 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4 $$

Mivel az egyenes a $[-4; 4]$ intervallumon a parabola felett halad, a területet a határozott integrál felírásával kapjuk meg:

$$ T = \int_{-4}^{4} ((-2x + 2) - (0,5x^2 - 2x - 6)) dx = \int_{-4}^{4} (8 - 0,5x^2) dx $$

A primitív függvény: $\left[8x - \frac{x^3}{6}\right]_{-4}^{4}$. Kiszámítva a határokat:

$$ \left(32 - \frac{64}{6}\right) - \left(-32 + \frac{64}{6}\right) = 64 - \frac{128}{6} = 64 - 21,33 = \mathbf{42,67} $$

A határolt síkidom területe $42,67$ területegység.

a) Az alaplap területe $6 \times 6 = 36\text{ dm}^2$. Ennek az anyagköltsége $36 \cdot 4 = 144$ tallér.

A négy oldallap elkészítésére a $300$ talléros keretből legfeljebb $300 - 144 = 156$ tallér marad. Egy oldallapra tehát maximum $156 \div 4 = 39$ tallér jut.

Egyetlen oldallap területe ekkor legfeljebb $\frac{39}{3} = 13\text{ dm}^2$ lehet. Mivel az alapéle $6\text{ dm}$, így a magasság ($m$) maximum:

$$ 6 \cdot m = 13 \implies m = \frac{13}{6}\text{ dm} $$

Tehát a doboz magassága legfeljebb $\frac{13}{6}$ dm lehet.

---

b) Jelölje a doboz alapélét $a$, a magasságát $b$. A teljes doboz költsége az alapterület és a négy oldallap árának összegeként felírva (a 300 talléros keretet teljes egészében kihasználva a térfogat maximalizálásához):

$$ a^2 \cdot 4 + 4ab \cdot 3 = 300 $$ $$ 4a^2 + 12ab = 300 $$

Ebből fejezzük ki $b$-t $a$ segítségével:

$$ 12ab = 300 - 4a^2 \implies b = \frac{300 - 4a^2}{12a} = \frac{25}{a} - \frac{a}{3} $$

Ezt a kifejezést helyettesítjük be a térfogatképletbe ($V = a^2 \cdot b$):

$$ V(a) = a^2 \left( \frac{25}{a} - \frac{a}{3} \right) = 25a - \frac{a^3}{3} $$

Keressük ezen függvény maximumát a pozitív számok halmazán. Szélsőérték ott lehet, ahol a függvény deriváltja nulla:

$$ V'(a) = 25 - a^2 = 0 \implies a = 5 $$

(A második derivált $V''(a) = -2a$, ami pozitív $a$ esetén negatív, így ez a hely valóban maximum.)

Az ehhez tartozó magasság:

$$ b = \frac{25}{5} - \frac{5}{3} = 5 - \frac{5}{3} = \frac{10}{3}\text{ dm} $$

Tehát a maximális térfogatú doboz élei: alapéle 5 dm, magassága $\frac{10}{3}$ dm.

---

c) A doboznak 5 lapja van: 1 alaplap és 4 oldallap. A színezések számolásánál bontsuk két fő esetre az alaplap színe szerint:

1. eset: Tegyük fel, hogy az alaplap kék.
Ekkor az oldallapok elszínezésének a forgatással egybeeső eseteket kiszűrve a következő lehetőségei vannak:

• Minden oldallap piros (4 db piros): 1 lehetőség
• Egyetlen oldallap piros (1 db piros, 3 db kék): 1 lehetőség
• Két oldallap piros: ez 2 lehetőség (a pirosak vagy egymás mellett szomszédosak, vagy egymással szemben vannak)
• Három oldallap piros (1 db kék): 1 lehetőség
• Minden oldallap kék (4 db kék): 1 lehetőség

Ez összesen $1 + 1 + 2 + 1 + 1 = 6$ féle különböző színezést jelent.

2. eset: Tegyük fel, hogy az alaplap piros.
A logika teljes egészében szimmetrikus, ez is újabb 6 lehetőséget fog eredményezni.

Összesen tehát $6 + 6 = \mathbf{12}$ féle különböző színezésű doboz készíthető.

a) 1 tonna megegyezik 1 000 000 grammal. Mivel 35 gramm zabmag 1000 darab magot tartalmaz, egy egyszerű aránypárral adódik: $$ N = \frac{1\,000\,000}{35} \cdot 1000 \approx 28\,571\,428 \text{ db} $$ Ezt normálalakban kifejezve: \( 2,857 \cdot 10^7 \) darab magot tartalmaz.

b) Ha 8 egyenlő részre osztja, akkor egy adag zab tömege \( k = \frac{1000}{8} = 125 \) kg.
Egy adag elkészítésének ideje a képlettel: $$ t_1 = \frac{125^2}{40} + 90 = \frac{15625}{40} + 90 = 390,625 + 90 = 480,625 \text{ perc} $$ A teljes idő a 8 adagra: $$ 8 \cdot 480,625 = 3845 \text{ perc} $$ Ezt órába átváltva: \( \frac{3845}{60} \approx \mathbf{64 \text{ óra}} \).

c) Ha \( n \) egyenlő részre osztjuk a zabot, egy adag tömege \( k = \frac{1000}{n} \) lesz. Az összes idő \( n \) részre: $$ T(n) = n \cdot \left( \frac{\left(\frac{1000}{n}\right)^2}{40} + 90 \right) = n \cdot \left( \frac{1\,000\,000}{40n^2} + 90 \right) = \frac{25\,000}{n} + 90n $$ Ennek a kifejezésnek keressük a minimumát pozitív egész \( n \) esetén. Alkalmazzuk elegánsan a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget a két tagra (\( A + B \ge 2\sqrt{AB} \)): $$ \frac{25\,000}{n} + 90n \ge 2\sqrt{\frac{25\,000}{n} \cdot 90n} = 2\sqrt{2\,250\,000} = 2 \cdot 1500 = 3000 \text{ perc} $$ Az egyenlőség pontosan akkor állna fenn, ha a két tag egyenlő: $$ \frac{25\,000}{n} = 90n \implies n^2 = \frac{25\,000}{90} \approx 277,7 \implies n \approx 16,67 $$ Mivel \( n \)-nek egésznek kell lennie, a két legközelebbi értéket, a 16-ot és a 17-et vizsgáljuk meg: $$ T(16) = \frac{25\,000}{16} + 90 \cdot 16 = 1562,5 + 1440 = 3002,5 \text{ perc} $$ $$ T(17) = \frac{25\,000}{17} + 90 \cdot 17 \approx 1470,59 + 1530 = 3000,59 \text{ perc} $$ Látható, hogy az \( \mathbf{n = 17} \) esetén kapjuk a minimális időt. A legkisebb idő tehát körülbelül 3000 perc, ami osztva 60-nal pontosan 50 óra.

a) A grafikonok elemzése a táblázatban összefoglalva:

függvény-grafikon	az \( a \) helyen a függvényérték pozitív	az \( a \) helyen az első derivált értéke pozitív	az \( a \) helyen a második derivált értéke pozitív
I.	hamis	hamis	hamis
II.	igaz	igaz	hamis
III.	igaz	igaz	igaz
IV.	igaz	hamis	igaz

Az \( f \) függvény grafikonja a III. grafikon lehet.

b) A feladat megadja a függvényt, illetve annak első és második deriváltját. Írjuk fel ezeket \( x \)-re: $$ g(x) = px^2 + qx + r $$ $$ g'(x) = 2px + q $$ $$ g''(x) = 2p $$ A feltételeket felhasználva \( x = 1 \)-re kapjuk az egyenletrendszert: $$ p + q + r = 1 $$ $$ 2p + q = 2 $$ $$ 2p = 4 $$ A harmadik egyenletből \( \mathbf{p = 2} \).
Ezt beírva a második egyenletbe: \( 4 + q = 2 \implies \mathbf{q = -2} \).
Ezeket beírva az első egyenletbe: \( 2 - 2 + r = 1 \implies \mathbf{r = 1} \).
(Így a függvény \( g(x) = 2x^2 - 2x + 1 \)).

c) A határozott integrált a primitív függvénnyel és a Newton-Leibniz szabállyal számoljuk ki: $$ \int_{-3}^{2} \left( \frac{1}{2}x^2 - 2x + 1 \right) \mathrm{d}x = \left[ \frac{1}{6}x^3 - x^2 + x \right]_{-3}^{2} $$ Behelyettesítve a felső és alsó határt: $$ = \left( \frac{8}{6} - 4 + 2 \right) - \left( \frac{-27}{6} - 9 - 3 \right) = \left( \frac{4}{3} - 2 \right) - \left( -\frac{9}{2} - 12 \right) $$ Közös nevezőre hozva az értékeket: $$ = -\frac{2}{3} - (-16,5) = -\frac{4}{6} + \frac{99}{6} = \mathbf{\frac{95}{6}} \approx 15,83 $$

a) Az \( E_0 \) esemény pontosan akkor következik be, ha az \( A \) tartományból nyíló mindkét átjáró (az \( A-B \) és az \( A-C \)) zárva van. Ennek a valószínűsége a függetlenség miatt a zárva levés valószínűségeinek szorzata: $$ P(E_0) = (1 - p) \cdot (1 - p) = (1 - p)^2 = \mathbf{1 - 2p + p^2} $$

b) A feltétel szerint meg kell oldani az \( (1 - p)^2 \le 0,01 \) egyenlőtlenséget. Gyököt vonva kapjuk: $$ 1 - p \le 0,1 \implies p \ge 0,9 $$ A feladat megadta, hogy \( p < 1 \), így a helyes választás: \( 0,9 \le p < 1 \).

c) Az \( E_1 \) esemény pontosan akkor következik be, ha az \( A \) tartományból a két átjáró közül az egyik nyitva van, a másik pedig nincs nyitva, továbbá a \( B \) és \( C \) közötti átjáró is zárva van (különben mindkettőbe el lehetne jutni). Ennek valószínűsége: $$ P(E_1) = \binom{2}{1} p(1 - p) \cdot (1 - p) = 2p(1 - p)^2 = 2p(1 - 2p + p^2) = \mathbf{2p - 4p^2 + 2p^3} $$ Az \( E_0 \), \( E_1 \) és \( E_2 \) események teljes eseményrendszert alkotnak (a lehetséges kimenetelek mindegyikét lefedik diszjunkt módon). Így \( P(E_2) \) kényelmesen kiszámolható: $$ P(E_2) = 1 - P(E_0) - P(E_1) = 1 - (1 - 2p + p^2) - (2p - 4p^2 + 2p^3) = \mathbf{3p^2 - 2p^3} $$

d) Az \( f(p) = 2p - 4p^2 + 2p^3 \) függvény (ahol \( 0 < p < 1 \)) szélsőértékét deriválással keressük: $$ f'(p) = 2 - 8p + 6p^2 $$ Ahol a derivált eltűnik: $$ 6p^2 - 8p + 2 = 0 \implies 3p^2 - 4p + 1 = 0 $$ A másodfokú egyenlet gyökei \( p = 1 \) és \( p = \frac{1}{3} \). Mivel \( p < 1 \), csak a \( p = \frac{1}{3} \) megoldás jöhet szóba. Itt a második derivált (\( 12p - 8 \)) \( p = 1/3 \)-nál \( -4 \), vagyis tényleg maximumhely.
Ekkor az \( E_1 \) esemény valószínűsége: $$ f\left(\frac{1}{3}\right) = 2 \cdot \frac{1}{3} - 4 \cdot \frac{1}{9} + 2 \cdot \frac{1}{27} = \frac{18}{27} - \frac{12}{27} + \frac{2}{27} = \mathbf{\frac{8}{27} \approx 0,296} $$

a) A test szimmetrikus, így kétféle testátlója van. Az egyik a \( 6 \times 8 \times 2 \) téglatest testátlójával, a másik a \( 6 \times 8 \times 5 \) téglatest testátlójával egyezik meg.
A rövidebb testátló: \( \sqrt{6^2 + 8^2 + 2^2} = \sqrt{104} \approx \mathbf{10{,}2 \text{ cm}} \).
A hosszabb testátló: \( \sqrt{6^2 + 8^2 + 5^2} = \sqrt{125} \approx \mathbf{11{,}2 \text{ cm}} \).

b) A teljes \( 15 \times 16 \)-os téglalap területe \( 240 \text{ cm}^2 \).
A test hálójának területe az 5 lap összegéből áll: az alaplap (\( 6 \cdot 8 = 48 \)), a két téglalap (\( 6 \cdot 2 = 12 \) és \( 6 \cdot 5 = 30 \)), valamint a két derékszögű trapéz (\( 2 \cdot \frac{5+2}{2} \cdot 8 = 56 \)).
A háló területe \( 48 + 12 + 30 + 56 = 146 \text{ cm}^2 \).
A keletkező hulladék területe \( 240 - 146 = 94 \text{ cm}^2 \), ami a teljes lap \( \frac{94}{240} \cdot 100 \approx \) \( 39{,}2\% \)-a.

c) Legyen a belső téglalap szélessége \( x \), magassága pedig \( \frac{50}{x} \).
Ekkor a teljes kartonlap oldalai \( x + 4 \) és \( \frac{50}{x} + 8 \) hosszúak. A teljes terület:

$$ T(x) = (x + 4)\left(\frac{50}{x} + 8\right) = 50 + 8x + \frac{200}{x} + 32 = 82 + 8x + \frac{200}{x} $$

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget alkalmazva a két pozitív, \( x \)-től függő tagra:

$$ 8x + \frac{200}{x} \ge 2\sqrt{8x \cdot \frac{200}{x}} = 2\sqrt{1600} = 80 $$

Az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha a két tag egyenlő: \( 8x = \frac{200}{x} \implies 8x^2 = 200 \implies x^2 = 25 \implies x = 5 \).
Tehát a belső téglalap optimális méretei 5 cm és 10 cm, így a kartonlap oldalainak hossza \( 5+4 = \) 9 cm, illetve \( 10+8 = \) 18 cm.

a) A medence tervrajzának x-tengely feletti része egy háromszög, amelynek csúcsa az \( y = x \) és az \( y = -2x + 2 \) egyenesek metszéspontja: \( x = -2x + 2 \implies x = \frac{2}{3} \), azaz a magassága \( y = \frac{2}{3} \).
A háromszög területe: \( T_1 = \frac{1 \cdot \frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3} \).

Az x-tengely alatti görbe alatti terület nagysága az integrál mínusz egyszereséből adódik:

$$ T_2 = -\int_0^1 (x^3 - x) \,dx = -\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = -\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} $$

A tervrajzon a medence teljes területe: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} \) területegység.
Mivel 1 egység a valóságban 12 méter, 1 területegység \( 12^2 = 144\text{ m}^2 \).
A medence valóságos területe: \( \frac{7}{12} \cdot 144 = \) \( 84\text{ m}^2 \).

b) A függvény deriváltja: \( f'(x) = -3x^2 + k \).

Az \( x = 1 \) pontban az érintési pont koordinátái: \( (1; k - 1) \), a meredekség \( m_1 = k - 3 \).
Az érintő egyenlete: \( y = (k - 3)(x - 1) + k - 1 \implies y = kx - 3x + 2 \).

Az \( x = 2 \) pontban az érintési pont koordinátái: \( (2; 2k - 8) \), a meredekség \( m_2 = k - 12 \).
Az érintő egyenlete: \( y = (k - 12)(x - 2) + 2k - 8 \implies y = kx - 12x + 16 \).

A két egyenest egyenlővé téve a metszéspont x-koordinátájához:

$$ kx - 3x + 2 = kx - 12x + 16 $$

$$ 9x = 14 \implies \mathbf{x = \frac{14}{9}} $$

Ezzel az állítást igazoltuk, mivel az eredmény valóban független \( k \)-tól.

a) A harmadik él hossza a térfogatképletből (\( V = abc \)) adódik: $$ c = \frac{72}{4 \cdot 2} = 9 \text{ dm} $$ A téglatest felszíne: $$ A = 2 \cdot (ab + ac + bc) = 2 \cdot (4 \cdot 2 + 4 \cdot 9 + 2 \cdot 9) = 2 \cdot (8 + 36 + 18) = \mathbf{124 \text{ dm}^2} $$

b) Jelöljük a téglatest éleit \( a \), \( 2a \) és \( b \) hosszúságúnak (\( a, b > 0 \)). A térfogat: \( V = a \cdot 2a \cdot b = 2a^2b = 72 \), ahonnan kifejezhető \( b \): $$ b = \frac{36}{a^2} $$ A téglatest felszíne \( a \) függvényében: $$ A(a) = 2(a \cdot 2a + a \cdot b + 2a \cdot b) = 4a^2 + 6ab = 4a^2 + 6a \left( \frac{36}{a^2} \right) = 4a^2 + \frac{216}{a} $$ A minimális felszín megkereséséhez tekintsük a függvény deriváltját (vagy alkalmazzuk a számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenséget): $$ A'(a) = 8a - \frac{216}{a^2} $$ A minimum helyén az első derivált nulla: $$ 8a - \frac{216}{a^2} = 0 \implies 8a^3 = 216 \implies a^3 = 27 \implies a = 3 $$ Mivel a második derivált (\( A''(a) = 8 + \frac{432}{a^3} \)) minden pozitív \( a \)-ra pozitív, a kapott pont valóban lokális és globális minimumhely. A téglatest élei a minimális felszín esetén: \( a = 3 \text{ dm} \), \( 2a = 6 \text{ dm} \), és \( b = \frac{36}{3^2} = 4 \text{ dm} \). A keresett élhosszak: 3 dm, 4 dm és 6 dm.

c) A téglatestnek 8 csúcsa van. Bármely három csúcs kiválasztásának száma az összes eset: $$ \binom{8}{3} = 56 $$ Nem megfelelő (a feltételt nem teljesítő) három csúcsot választunk ki akkor, ha a rajtuk átmenő sík egy negyedik (vagy több) csúcsot is tartalmaz. Ez pontosan akkor teljesül, ha a három csúcs a téglatest valamelyik síkmetszetére, lapjára illeszkedik, amelyik 4 csúcsot tartalmaz. Ilyen 4 csúcsot tartalmazó síkok: - A téglatest 6 határoló lapja. - A téglatest 6 "átlós" síkja (amelyek két szemközti élre illeszkednek). Összesen \( 6 + 6 = 12 \) ilyen 4 csúcsot tartalmazó sík van. Minden ilyen sík 4 csúcsa közül \( \binom{4}{3} = 4 \)-féleképpen választhatunk ki hármat, amelyek ugyanazt a síkot határozzák meg, és egy negyedik csúcsot is tartalmaznak. A nem megfelelő kiválasztások száma: \( 12 \cdot 4 = 48 \). A megfelelő kiválasztások száma így: $$ 56 - 48 = \mathbf{8} $$

a) Az összes felhasznált liszt mennyisége: \( 450 + 400 + 500 = 1350 \) gramm.
Az előírt arány 5:4, így a búzaliszt szükséges mennyisége az egész mennyiség \( \frac{5}{9} \) része: $$ \frac{5}{9} \cdot 1350 = 750 \text{ gramm.} $$ Mivel eredetileg 450 gramm búzalisztet tett bele, a hozzáadott búzaliszt: $$ 750 - 450 = \mathbf{300 \text{ gramm.}} $$

b) A nyereségesség feltétele: \( n(x) > 0 \). Mivel \( x \in (0; 5) \), a \( 0,8x^2 \) tényező mindig pozitív.
Emiatt az \( (x - 3)(1,5 - x) \) szorzatnak kell pozitívnak lennie. Ez akkor teljesül, ha a két tényező azonos előjelű: - Ha \( x < 1,5 \), a szorzat: \( (-) \cdot (+) = (-) \). - Ha \( 1,5 < x < 3 \), a szorzat: \( (-) \cdot (-) = (+) \). - Ha \( x > 3 \), a szorzat: \( (+) \cdot (-) = (-) \). Ezzel beláttuk, hogy csak \( 1,5 < x < 3 \) esetén lesz a termelés nyereséges.

c) Keressük az \( n(x) = -0,8x^4 + 3,6x^3 - 3,6x^2 \) függvény maximumát.
A deriváltfüggvény: $$ n'(x) = -3,2x^3 + 10,8x^2 - 7,2x $$ A lehetséges szélsőérték helyei, ahol \( n'(x) = 0 \): $$ -x(3,2x^2 - 10,8x + 7,2) = 0 $$ Ennek az egyenletnek a gyökei: \( x_1 = 0 \), valamint a másodfokú tényezőből \( x_2 \approx 0,91 \) és \( x_3 \approx 2,46 \).
Mivel csak az \( 1,5 < x < 3 \) intervallumon van nyereség, az \( x \approx 2,46 \) helyet vizsgáljuk. A második derivált: $$ n''(x) = -9,6x^2 + 21,6x - 7,2 $$ \( n''(2,46) < 0 \), tehát itt valóban (abszolút) maximuma van a függvénynek.
A legnagyobb nyereség értéke: $$ n(2,46) = 0,8 \cdot 2,46^2 \cdot (2,46 - 3) \cdot (1,5 - 2,46) \approx 2,51 $$ A legnagyobb elérhető napi nyereség tehát kb. 25 100 tallér, amit kb. 2,46 tonna liszt eladásával érhetnek el.

a) A parabola egyenlete átrendezve: \( y = -\frac{1}{2}x^2 + 8 \). Ennek tengelypontja \( (0; 8) \), paramétere \( p = 1 \) (a másodfokú tag együtthatója \( -\frac{1}{2p} \)). A "lefelé nyíló" parabola fókusza ezért a \( (0; 7,5) \) pont.
A kör egyenletéből közvetlenül kiolvasható, hogy a középpontja a \( C(0; 3) \) pont.

b) A pont behelyettesítésével mindkét egyenletbe:
Parabola: \( (2\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 4 = 8 + 8 = 16 \), igaz.
Kör: \( (2\sqrt{2})^2 + (4 - 3)^2 = 8 + 1 = 9 \), igaz. Tehát a pont közös.
A kör érintőjének normálvektora a \( \mathbf{n} = \overrightarrow{CQ} \) vektor: \( \overrightarrow{CQ}(2\sqrt{2} - 0; 4 - 3) = (2\sqrt{2}; 1) \).
Az érintő egyenlete: \( 2\sqrt{2}x + y = 2\sqrt{2}(2\sqrt{2}) + 1 \cdot 4 = 12 \), amiből \( y = -2\sqrt{2}x + 12 \).
A parabola differenciálása: \( y'(x) = -x \). Az érintési pontban a meredekség: \( y'(2\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} \).
A parabola érintőjének egyenlete a \( Q \) pontban: $$ y - 4 = -2\sqrt{2}(x - 2\sqrt{2}) \implies y = -2\sqrt{2}x + 8 + 4 = -2\sqrt{2}x + 12 $$ A két egyenes egyenlete megegyezik, tehát a két görbének közös az érintője a \( Q \) pontban.

c) A parabola zérushelyei az \( x \) tengelyen (\( y = 0 \)): \( -\frac{1}{2}x^2 + 8 = 0 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4 \).
A terület meghatározásához integrálunk a zérushelyek között: $$ T = \int_{-4}^{4} \left( -\frac{1}{2}x^2 + 8 \right) dx = \left[ -\frac{1}{6}x^3 + 8x \right]_{-4}^{4} $$ A Newton-Leibniz szabályt alkalmazva: $$ T = \left( -\frac{64}{6} + 32 \right) - \left( \frac{64}{6} - 32 \right) = 64 - \frac{128}{6} = \frac{384 - 128}{6} = \frac{256}{6} = \mathbf{\frac{128}{3}} \approx 42,67 $$

a) Az összeolvasztás előtti teljes térfogat megegyezik az új henger térfogatával: $$ \pi r^2 h + \pi R^2 h = \pi r_{\text{új}}^2 h $$ Leosztva a pozitív $\pi h$ tényezővel: $$ r^2 + R^2 = r_{\text{új}}^2 \implies r_{\text{új}} = \sqrt{r^2 + R^2} $$ A feladat bizonyítani az $r_{\text{új}} \ge \sqrt{2rR}$ egyenlőtlenséget. Mivel mindkét oldal pozitív, négyzetre emelve ekvivalens állítást kapunk: $$ r^2 + R^2 \ge 2rR \iff r^2 - 2rR + R^2 \ge 0 \iff (r - R)^2 \ge 0 $$ Mivel egy valós szám négyzete mindig nemnegatív, az egyenlőtlenség mindig igaz, amit bizonyítani kellett.

b) Ha a tortát egy forgáshengernek tekintjük, akkor annak alapköre egy $r_{\text{torta}}$ sugarú kör. Mivel a torta felső éle a félgömbre illeszkedik, a gömb középpontja, a torta felső alaplapjának egy határpontja és a torta alaplapjának középpontja által kifeszített derékszögű háromszögre felírható a Pitagorasz-tétel. Itt a gömb sugara az átfogó, 15 cm. $$ r_{\text{torta}}^2 + m^2 = 15^2 = 225 \implies r_{\text{torta}}^2 = 225 - m^2 $$ A torta térfogata a henger térfogatképletével: $$ V = \pi \cdot r_{\text{torta}}^2 \cdot m = \pi \cdot (225 - m^2) \cdot m = \mathbf{225\pi m - \pi m^3} $$

c) A térfogatot megadó függvény $V(m) = 225\pi m - \pi m^3$. Ennek a maximumát keressük, mely a derivált nullhelyénél lehet. $$ V'(m) = \pi(225 - 3m^2) $$ $$ V'(m) = 0 \implies 225 - 3m^2 = 0 \implies m^2 = 75 \implies m = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} $$ (Mivel $V''(m) = -6\pi m$ negatív ezen a helyen, valóban maximumról van szó.)
A maximális térfogat: $$ V_{\text{max}} = V(5\sqrt{3}) = 225\pi(5\sqrt{3}) - \pi(5\sqrt{3})^3 = 1125\pi\sqrt{3} - \pi \cdot 125 \cdot 3\sqrt{3} = 1125\pi\sqrt{3} - 375\pi\sqrt{3} = \mathbf{750\sqrt{3}\pi} $$ A félgömb térfogata ($R=15$): $$ V_{\text{félgömb}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{2}{3} \pi \cdot 15^3 = \mathbf{2250\pi} $$ A kettő aránya: $$ \frac{750\sqrt{3}\pi}{2250\pi} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0,577 $$ Mivel $0,577 < 0,60$, a maximális torta térfogata valóban kisebb, mint a félgömb térfogatának 60%-a.

a) Az adathalmaz rendezve: 3, 4, 6, 6, 7, 7, 7, 8.
Az átlag: \( \overline{x} = \frac{48}{8} = \mathbf{6} \).
A medián a két középső elem átlaga (6 és 7): \(\mathbf{6,5}\).
A szórás a definíció alapján: $$ \sigma = \sqrt{\frac{(3-6)^2 + (4-6)^2 + 2\cdot(6-6)^2 + 3\cdot(7-6)^2 + (8-6)^2}{8}} = \sqrt{\frac{9 + 4 + 0 + 3 + 4}{8}} = \sqrt{\frac{20}{8}} \approx \mathbf{1,58} $$

b) A parabola egyenlete \(y = ax^2 + bx + c\).
A görbe átmegy a \(P(0; 2)\) ponton, azaz a nullponti érték behelyettesítéséből következik, hogy \(c = 2\).
Az érintő meredeksége a derivált nullabeli értéke. Mivel a meredekségszög 45°, így \(m = \text{tg} 45^\circ = 1\). A deriváltfüggvény \(y' = 2ax + b\), ebből \(y'(0) = 1 \implies \mathbf{b = 1}\).
Tehát az egyenlet: \(y = ax^2 + x + 2\).
A görbe átmegy a \(Q(4,6; 3)\) ponton, behelyettesítve az \((x,y)\) értékeket: $$ 3 = a \cdot 4,6^2 + 4,6 + 2 \implies 21,16a = -3,6 \implies a \approx \mathbf{-0,17} $$ A keresett parabola egyenlete: \(y = -0,17x^2 + x + 2\).

c) A függvény inverzének tulajdonságait az ábráról leolvasható értékekből tudjuk levezetni, mivel a grafikon tükröződik az \(y = x\) egyenesre:

• Az inverzfüggvény értelmezési tartománya \(f\) értékkészlete, tehát: \([-2; 5]\).
• Értékkészlete megegyezik \(f\) értelmezési tartományával, azaz: \([-2; 3]\).
• Zérushelye ott van, ahol \(f\) az 1-et veszi fel az y-tengelyen (mert az eredeti f zérushelye \(y=1\) \(\implies\) az inverzben \(f^{-1}(1)=0\)). A grafikonból leolvasva a zérushely: \(x = 1\).
• Mivel az eredeti függvény szigorúan monoton növekedő, így inverze is szigorúan monoton növekedő.

a) Az $f'$ első derivált előjele a függvény menetét mutatja: monoton nővekvő esetén pozitív ($P$), csökkenő esetén negatív ($N$). Az $f''$ második derivált a görbületet mutatja: konkáv szakaszon (lefelé nyitott) negatív ($N$), konvex szakaszon (felfelé nyitott) pozitív ($P$). Az ábra gondos megvizsgálásával látható, hogy $x_2$ nem a maximumhely, hanem kicsivel a lokális maximum után van. A kitöltött táblázat:

hely	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$
$f'$ előjele	$P$	$N$	$N$	$0$	$P$
$f''$ előjele	$N$	$N$	$P$	$P$	$P$

b) Az érintő egyenes átrendezve: $y = 4x - k$, melynek meredeksége 4. A parabola egyenletének deriváltja: $$ f'(x) = -\frac{1}{4} \cdot 2(x-2) = -\frac{1}{2}x + 1 $$ Mivel az érintési pontban a derivált megegyezik a meredekséggel: $$ -\frac{1}{2}x + 1 = 4 \Rightarrow -\frac{1}{2}x = 3 \Rightarrow x = -6 $$ A behelyettesítési érték a parabolán: $$ y = -\frac{1}{4}(-6-2)^2 + 8 = -\frac{64}{4} + 8 = -16 + 8 = -8 $$ Az érintési pont koordinátái tehát: $(-6; -8)$.
Ezt visszahelyettesítve az érintő egyenletébe: $$ 4(-6) - (-8) = k \Rightarrow -24 + 8 = k \Rightarrow \mathbf{k = -16} $$

a) Az ábra alapján a kartonlap méreteit kifejezhetjük a téglatest éleivel: $$ 2a + c = 18 $$ $$ a + 2b + c = 33 $$ Ha \( a = 7 \), akkor \( 2 \cdot 7 + c = 18 \implies c = 4 \).
Ezt a második egyenletbe helyettesítve: \( 7 + 2b + 4 = 33 \implies 2b = 22 \implies b = 11 \).
A téglatest térfogata: \( V = abc = 7 \cdot 11 \cdot 4 = \mathbf{308 \text{ cm}^3} \).

b) Fejezzük ki a térfogatot az egyik él, például az \( a \) segítségével.
Az első egyenletből: \( c = 18 - 2a \).
Ezt beírva a második egyenletbe: $$ a + 2b + (18 - 2a) = 33 \implies 2b = 15 + a \implies b = \frac{15 + a}{2} $$ A térfogatfüggvény (\( 0 < a < 9 \)): $$ V(a) = a \cdot \frac{15 + a}{2} \cdot (18 - 2a) = a(15 + a)(9 - a) = -a^3 - 6a^2 + 135a $$ A \( V(a) \) függvény ott vehet fel maximumot, ahol deriváltja nulla: $$ V'(a) = -3a^2 - 12a + 135 = 0 $$ $$ a^2 + 4a - 45 = 0 $$ Ennek gyökei \( a_1 = 5 \) és \( a_2 = -9 \). Mivel az élhossz pozitív, csak az \( a = 5 \) felel meg.
A második derivált: \( V''(a) = -6a - 12 \), így \( V''(5) = -42 < 0 \), tehát az \( a=5 \) helyen valóban maximum van.
Az élek hossza: \( a = 5 \text{ cm} \), \( b = 10 \text{ cm} \), \( c = 8 \text{ cm} \). (A maximális térfogat \( 400 \text{ cm}^3 \).)

c) A téglatest 8 csúcsa összesen \( \binom{8}{3} = 56 \) háromszöget határoz meg.
Ebből le kell vonni azokat, amelyeknek a síkja egybeesik valamelyik lapjának síkjával.
A téglatestnek 6 lapja van, és minden egyes lapon lévő 4 csúcs \( \binom{4}{3} = 4 \) darab ilyen háromszöget határoz meg.
Tehát laponként 4, összesen \( 6 \cdot 4 = 24 \) ilyen háromszög van.
A feltételeknek megfelelő háromszögek száma: \( 56 - 24 = \mathbf{32} \).

a) Az integrál kiszámítása a Newton-Leibniz formula segítségével: $$ \int_0^p (3x^2 - 24x + 20) dx = \left[ x^3 - 12x^2 + 20x \right]_0^p = p^3 - 12p^2 + 20p $$ Megoldandó a \( p^3 - 12p^2 + 20p = 0 \) egyenlet. Mivel \( p > 0 \), kiemelés és osztás után marad a másodfokú egyenlet: $$ p \cdot (p^2 - 12p + 20) = 0 \implies p^2 - 12p + 20 = 0 $$ Az egyenlet gyökei a Viète-formulák alapján: $$ \mathbf{p_1 = 10, \quad p_2 = 2} $$ Ezek a \( p \) lehetséges értékei.

b) Felírjuk a feltételek szerinti egyenleteket az \( a, b, c \) együtthatókra. 1. Zérushely \( x=2 \)-ben (\( f(2)=0 \)): $$ 8a + 4b + 2c + 28 = 0 $$ 2. Lokális maximumhely \( x=-4 \)-ben. Ez azt jelenti, hogy ott a derivált nulla (\( f'(-4) = 0 \)): A függvény deriváltja: \( f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \) $$ f'(-4) = 48a - 8b + c = 0 $$ 3. Inflexiós pont \( x=-1 \)-ben. Ekkor a második deriváltja nulla (\( f''(-1) = 0 \)): A második derivált: \( f''(x) = 6ax + 2b \) $$ f''(-1) = -6a + 2b = 0 \implies 2b = 6a \implies \mathbf{b = 3a} $$ Ezt az eredményt visszahelyettesítjük a második egyenletbe: $$ 48a - 8(3a) + c = 0 \implies 48a - 24a + c = 0 \implies 24a + c = 0 \implies \mathbf{c = -24a} $$ Végül behelyettesítjük mindkettőt az első egyenletbe: $$ 8a + 4(3a) + 2(-24a) + 28 = 0 $$ $$ 8a + 12a - 48a + 28 = 0 $$ $$ -28a + 28 = 0 \implies \mathbf{a = 1} $$ Ebből kapjuk a többi paramétert is: $$ \mathbf{b = 3 \cdot 1 = 3} $$ $$ \mathbf{c = -24 \cdot 1 = -24} $$ A megfelelő feltételekhez (lokális maximum és inflexió is) a derivált és a második derivált előjelének váltásai szükségesek. Mivel \( f''(-4) = 6(1)(-4) + 2(3) = -18 < 0 \), tényleg lokális maximum van \( x=-4 \)-nél, és \( f'''(-1) = 6 \neq 0 \), így valóban inflexiós pontról van szó.

a) Először meghatározzuk a függvény zérushelyeit: $$ x^2 - 12x + 27 = 0 \implies x_1 = 3, \quad x_2 = 9 $$ A parabola az \( [3; 9] \) intervallumon az \( x \) tengely alatt halad, ezért a keresett terület a határozott integrál ellentettje: $$ T = -\int_{3}^{9} (x^2 - 12x + 27) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 6x^2 - 27x \right]_{3}^{9} $$ Helyettesítsük be a határokat: $$ T = \left( -\frac{729}{3} + 6 \cdot 81 - 27 \cdot 9 \right) - \left( -\frac{27}{3} + 6 \cdot 9 - 27 \cdot 3 \right) $$ $$ T = (-243 + 486 - 243) - (-9 + 54 - 81) = 0 - (-36) = \mathbf{36} $$ A bezárt terület nagysága 36 területegység.

b) Az érintő meredekségét a deriváltfüggvény adott pontbeli helyettesítési értéke adja meg: $$ f'(x) = 2x - 12 $$ $$ m = f'(5) = 2 \cdot 5 - 12 = -2 $$ Az egyenes egyenletének pont-meredekség alakjába behelyettesítve: $$ y - y_0 = m(x - x_0) \implies y - (-8) = -2(x - 5) $$ $$ y + 8 = -2x + 10 \implies \mathbf{y = -2x + 2} $$

c) Hozzuk a parabolát csúcsponti alakra teljes négyzetté alakítással: $$ f(x) = (x - 6)^2 - 36 + 27 = (x - 6)^2 - 9 $$ A parabola tengelypontja tehát \( T(6; -9) \).
Az \( y = \frac{1}{2p}(x - u)^2 + v \) alakból felírható, hogy a paraméterre \( 2p = 1 \implies p = 0,5 \).
A fókuszpont az \( y \) tengellyel párhuzamos szimmetriatengely mentén \( \frac{p}{2} \)-vel helyezkedik el a csúcspont felett: $$ F\left(6; -9 + \frac{0,5}{2}\right) = \mathbf{F(6; -8,75)} $$

a) Szélsőérték ott lehet, ahol a derivált nulla. $$ f'(x) = 4x^3 + 24x^2 - 540x = 4x(x^2 + 6x - 135) $$ A \( 4x(x^2 + 6x - 135) = 0 \) egyenlet gyökei \( x = 0 \) és a másodfokú tényező gyökei: \( -15 \) és \( 9 \).
A deriváltfüggvény \( x = -15 \)-ben és \( x = 9 \)-ben negatívból pozitívba vált, így ott lokális minimumhelyek vannak, \( x = 0 \)-ban pedig pozitívból negatívba vált, így ott lokális maximumhely van.
A függvény a \( ]-\infty; -15[ \) intervallumon monoton csökkenő, a \( ]9; \infty[ \) intervallumon pedig monoton növekvő. Mivel az \( f(x) \) polinom páros fokú főtaggal rendelkezik, végtelenben a limesz \( +\infty \). A két lokális minimumhely egyikén veszi fel az abszolút minimumát: \( f(-15) = -36\,850 \) és \( f(9) = -9202 \). Mivel \( f(-15) < f(9) \), ezért \( x = -15 \)-ben abszolút minimuma van.

b) A konkavitást a második deriválttal vizsgáljuk: $$ f''(x) = 12x^2 + 48x - 540 = 12(x^2 + 4x - 45) $$ Az \( x^2 + 4x - 45 = 0 \) egyenlet gyökei \( -9 \) és \( 5 \). A másodfokú függvény képe egy felfelé nyíló parabola, tehát a két zérushelye közötti intervallumon, azaz \( ]-9; 5[ \)-ön negatív értékeket vesz fel.
Mivel az \( f''(x) < 0 \) ezen az intervallumon, az \( f \) függvény itt valóban konkáv.

c) A primitív függvény felhasználásával: $$ \int_{0}^{5} (x^4 + 8x^3 - 270x^2 + 275) \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} + 2x^4 - 90x^3 + 275x \right]_0^5 $$ Behelyettesítve az 5-öt: $$ = \frac{3125}{5} + 2 \cdot 625 - 90 \cdot 125 + 275 \cdot 5 = 625 + 1250 - 11\,250 + 1375 = \mathbf{-8000} $$ A zérus behelyettesítésével mindent elhagyhatunk, így a határozott integrál értéke \( -8000 \).

a) Felírjuk a \( (2f + g)(x) \) kifejezést:

$$ (2f + g)(x) = 2(2x + 1) + (x^2 - 2) = 4x + 2 + x^2 - 2 = x^2 + 4x $$

A zérushelyek ott találhatók, ahol az érték nulla:

$$ x^2 + 4x = 0 \implies x(x + 4) = 0 $$

A függvény zérushelyei: \( x = 0 \) és \( x = -4 \).

b) Először meghatározzuk a két grafikon metszéspontjait az \( f(x) = g(x) \) egyenlet megoldásával, ezek adják az integrálás határait:

$$ 2x + 1 = x^2 - 2 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 $$

Ennek gyökei \( x = -1 \) és \( x = 3 \). A \( [-1; 3] \) intervallumon az \( f \) grafikonja (az egyenes) van „felül”, így a terület integrálja:

$$ T = \int_{-1}^{3} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{-1}^{3} \left( (2x + 1) - (x^2 - 2) \right) \, dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \, dx $$

Kiszámolva a primitív függvényt:

$$ T = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{-1}^{3} $$

Behelyettesítve a felső, majd az alsó határt:

$$ T = \left( -\frac{27}{3} + 9 + 9 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 - 3 \right) = (-9 + 18) - \left( \frac{1}{3} - 2 \right) = 9 - \left( -\frac{5}{3} \right) = 9 + \frac{5}{3} = \mathbf{\frac{32}{3}} \text{ (vagyis kb. 10,67)} $$

c) A monotonitás vizsgálatához tekintsük a \( h(x) = \frac{x^2 - 2}{2x + 1} \) deriváltját a hányados szabályával:

$$ h'(x) = \frac{2x \cdot (2x + 1) - (x^2 - 2) \cdot 2}{(2x + 1)^2} = \frac{4x^2 + 2x - 2x^2 + 4}{(2x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x + 4}{(2x + 1)^2} $$

A nevező minden \( x \in \, ]-\infty; -0,5[ \) esetén pozitív. A számláló átalakítva (például teljes négyzetté alakítással):

$$ 2x^2 + 2x + 4 = 2(x^2 + x) + 4 = 2\left(x + 0,5\right)^2 - 0,5 + 4 = 2(x + 0,5)^2 + 3,5 $$

Látható, hogy a számláló minden valós \( x \)-re (így az adott intervallumon is) szigorúan pozitív, ahogy a nevező is. Így \( h'(x) > 0 \), amiből következik, hogy a függvény a megadott intervallumon valóban szigorúan monoton növekvő.

a) Szorzattá alakítjuk a kifejezést: \( 3x^2 - x^3 = x^2 \cdot (3 - x) \).
Az \( x^2 \) tényező pozitív, mert \( x \neq 0 \).
A \( 3 - x \) tényező is pozitív, mert \( x < 3 \).
Így a két pozitív tényező szorzata is pozitív, tehát \( y > 0 \), ha \( x \in ]0; 3[ \).

b) A megadott görbe derivált függvénye: \( f'(x) = 6x - 3x^2 \).
A meredekség az \( x = 3 \) helyen: \( f'(3) = 6 \cdot 3 - 3 \cdot 3^2 = 18 - 27 = -9 \).
A pont koordinátái: \( f(3) = 3 \cdot 3^2 - 3^3 = 27 - 27 = 0 \), így a pont a \( (3; 0) \).
Az érintő egyenlete: \( y - 0 = -9 \cdot (x - 3) \), azaz: $$ \mathbf{y = -9x + 27} $$

c) A görbének az \( x = 0 \) és az \( x = 3 \) helyen van közös pontja az \( x \) tengellyel. Tudjuk, hogy ha \( x \in [0; 3] \), akkor \( y \ge 0 \), ezért a kérdezett terület a határozott integrállal számolható: $$ T = \int_{0}^{3} (3x^2 - x^3) dx $$ A Newton-Leibniz szabályt alkalmazva: $$ T = \left[ x^3 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{3} = \left( 3^3 - \frac{3^4}{4} \right) - (0) = 27 - \frac{81}{4} = \mathbf{6,75} $$

a) Jelölje \( x \) a szekrény függőleges méretét (magasságát) méterben. A tetőtér keresztmetszetét egy egyenlő szárú derékszögű háromszög alkotja, melynek átfogója fekszik a padlón. A háromszög befogói 4 méteresek, így az átfogója (a padlón lévő alap) \( 4\sqrt{2} \approx 5,66 \) méter hosszú.

A szekrény előlapja egy olyan téglalap, amely szimmetrikusan helyezkedik el ebben a háromszögben. A téglalap felett a bal és jobb oldalon egy-egy kisebb egyenlő szárú derékszögű háromszög marad ki, melyek magassága és alapja is \( x \), illetve \( x \) (mivel a szög \( 45^\circ \)). Emiatt a szekrény szélessége az alap hosszából levonva ezt a két levágást: $$ \text{szélesség} = 4\sqrt{2} - 2x \quad (0 < x < 2\sqrt{2}) $$ A szekrény mélysége 60 cm, azaz 0,6 m. A szekrény térfogata \( x \) függvényében: $$ V(x) = 0,6x(4\sqrt{2} - 2x) = 2,4\sqrt{2}x - 1,2x^2 $$

Ennek a lefelé nyíló másodfokú függvénynek ott van maximuma, ahol a deriváltja nulla (vagy a zérushelyek számtani közepénél). $$ V'(x) = 2,4\sqrt{2} - 2,4x = 0 \implies 2,4x = 2,4\sqrt{2} \implies x = \sqrt{2} $$ A szekrény optimális méretei tehát: Magasság: \( \sqrt{2} \approx 1,41 \text{ m} \) Szélesség: \( 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \approx \mathbf{2,83 \text{ m}} \).

b) Ha csak az ingek színeit tekintjük (2 fehér, 2 világoskék, 3 sárga), a lehetséges sorrendek száma ismétléses permutációval: $$ \frac{7!}{2! \cdot 2! \cdot 3!} = \frac{5040}{2 \cdot 2 \cdot 6} = 210 $$

A kedvező esetek két diszjunkt halmazra bonthatók: 1. Az első három napon három különböző színű inget választ: Ekkor az első három helyre a 3 különböző szín (fehér, világoskék, sárga) \( 3! = 6 \)-féleképpen kerülhet. A fennmaradó 4 ing (1 fehér, 1 világoskék, 2 sárga) a maradék 4 helyre \( \frac{4!}{2!} = 12 \)-féleképpen kerülhet. Ez összesen \( 6 \cdot 12 = 72 \) lehetőség.
2. Az első három napon három egyforma színű inget választ: Ez csak úgy lehetséges, ha mind a három ing sárga. A maradék 4 helyre a 2 fehér és 2 világoskék ing \( \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6 \)-féleképpen osztható el.

A kedvező esetek száma összesen: \( 72 + 6 = 78 \). A keresett valószínűség: $$ P = \frac{78}{210} = \frac{13}{35} \approx \mathbf{0,371} $$

a) A kilométerenkénti teljes költség fv-e az \( x \) függvényében: $$ K(x) = 400 + 0,8x + \frac{2200}{x} $$ A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget felírva a két változó tagra: $$ 0,8x + \frac{2200}{x} \ge 2 \cdot \sqrt{0,8x \cdot \frac{2200}{x}} = 2 \cdot \sqrt{1760} $$ A kifejezés ott minimális, ahol az egyenlőség fennáll, vagyis: $$ 0,8x = \frac{2200}{x} \implies x^2 = \frac{2200}{0,8} = 2750 $$ $$ x = \sqrt{2750} \approx 52,44 $$ Tehát egészre kerekítve 52 km/h átlagsebesség esetén lesz minimális a kilométerenkénti működtetési költség.

b) A teljes embléma területe az \( f(x) \) görbe alatti területének kétszerese a \( [0; 6] \) intervallumon, mivel az szimmetrikus az x-tengelyre. Bontsuk a területet az értelmezési tartomány szerint két integrálra: $$ T = 2 \left( \int_0^4 \sqrt{x} \, dx + \int_4^6 \frac{x^2 - 12x + 36}{2} \, dx \right) $$ Kiszámítjuk a primitív függvényeket: $$ \int \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}x\sqrt{x} $$ $$ \int \frac{x^2 - 12x + 36}{2} \, dx = \frac{1}{2} \left( \frac{x^3}{3} - 6x^2 + 36x \right) = \frac{x^3}{6} - 3x^2 + 18x $$ A Newton-Leibniz formula alkalmazásával: $$ T = 2 \left( \left[ \frac{2}{3}x\sqrt{x} \right]_0^4 + \left[ \frac{x^3}{6} - 3x^2 + 18x \right]_4^6 \right) $$ A behelyettesítések eredményei: $$ \left( \frac{16}{3} - 0 \right) + \left( \left(36 - 108 + 108\right) - \left( \frac{64}{6} - 48 + 72 \right) \right) = \frac{16}{3} + 36 - \left(\frac{32}{3} + 24\right) $$ $$ T = 2 \left( \frac{16}{3} + 36 - 34\frac{2}{3} \right) = 2 \left( \frac{16}{3} + \frac{4}{3} \right) = 2 \cdot \frac{20}{3} = \mathbf{\frac{40}{3}} $$ Az embléma területe \( \frac{40}{3} \) területegység.

a) Költségfüggvény felírása és optimalizálása:
Ha \( r \) a doboz alapkörének sugara, \( m \) pedig a magassága cm-ben, akkor a térfogat: \( V = r^2\pi \cdot m = 1000 \). Ebből a magasság kifejezhető: $$ m = \frac{1000}{r^2\pi} $$ A teljes anyagköltség \( r \) függvényében (alaplap + fedőlap és palást összegzésével): $$ f(r) = 2 \cdot r^2\pi \cdot 0,2 + 2r\pi \cdot m \cdot 0,1 = 0,4r^2\pi + 0,2r\pi \frac{1000}{r^2\pi} = 0,4r^2\pi + \frac{200}{r} \text{ (Ft)} $$ A függvény minimumát a derivált nullahelyén keressük: $$ f'(r) = 0,8r\pi - \frac{200}{r^2} = 0 $$ $$ 0,8r^3\pi = 200 \implies r = \sqrt[3]{\frac{200}{0,8\pi}} \approx \mathbf{4,3 \text{ cm}} $$ Mivel a második derivált \( f''(r) = 0,8\pi + \frac{400}{r^3} > 0 \), ez valóban minimumhely.
A minimális anyagköltséghez tartozó magasság: $$ m = \frac{1000}{4,3^2\pi} \approx \mathbf{17,2 \text{ cm}} $$ A minimális anyagköltség kiszámolva és forintra kerekítve: $$ f(4,3) \approx 0,4 \cdot 4,3^2\pi + \frac{200}{4,3} \approx 23,2 + 46,5 = \mathbf{70 \text{ Ft}} $$

b) Statisztikai mutatók:
Az adatok átlaga egyszerű számtani közép: $$ \overline{x} = \frac{0+1+0+0+2+0+0+1+3+0}{10} = \mathbf{0,7} $$ Az átlagtól mért átlagos abszolút eltérés (az adatok és az átlag különbségének abszolút értékeinek átlaga): $$ D = \frac{6 \cdot |0 - 0,7| + 2 \cdot |1 - 0,7| + 1 \cdot |2 - 0,7| + 1 \cdot |3 - 0,7|}{10} $$ $$ D = \frac{6 \cdot 0,7 + 2 \cdot 0,3 + 1,3 + 2,3}{10} = \frac{4,2 + 0,6 + 1,3 + 2,3}{10} = \mathbf{0,84} $$

a) Az edény alapéle legyen \( x \) cm hosszú. Mivel az edény térfogata 4000 cm³, felírható a térfogat képlete: $$ 4000 = x^2 \cdot 6,4 \implies x^2 = \frac{4000}{6,4} = 625 \implies x = 25 $$ A zománccal bevonandó felület területe (alaplap + 4 oldallap): $$ F = x^2 + 4 \cdot x \cdot 6,4 = 625 + 4 \cdot 25 \cdot 6,4 = 625 + 640 = \mathbf{1265 \text{ cm}^2} $$

b) Ha az edény magassága \( m \) cm, akkor a térfogata \( 4000 = x^2 m \). Fejezzük ki \( m \)-et a térfogatból: $$ m = \frac{4000}{x^2} $$ A felület területe egy \( x \) változójú függvényként: $$ F(x) = x^2 + 4xm = x^2 + 4x \frac{4000}{x^2} = x^2 + \frac{16\,000}{x} $$ A minimum kereséséhez alkalmazzuk a pozitív tagokra felírható számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget a kifejezés három részre bontásával (\( x > 0 \)): $$ x^2 + \frac{16\,000}{x} = x^2 + \frac{8000}{x} + \frac{8000}{x} \ge 3 \sqrt[3]{x^2 \cdot \frac{8000}{x} \cdot \frac{8000}{x}} $$ $$ 3 \sqrt[3]{64\,000\,000} = 3 \cdot 400 = 1200 $$ Az egyenlőség (a minimális felület) pontosan abban az esetben teljesül, ha a tagok egyenlőek: $$ x^2 = \frac{8000}{x} \implies x^3 = 8000 \implies x = 20 $$ Tehát a gyártott edények alapéle 20 cm.

c) A selejtes edény kiválasztásának valószínűsége független ismétléses kísérlet (binomiális eloszlás), ahol \( p = 0,02 \), \( n = 50 \) és \( k = 2 \): $$ P(\text{pontosan 2 selejt}) = \binom{50}{2} \cdot 0,02^2 \cdot (1 - 0,02)^{48} $$ $$ P \approx 1225 \cdot 0,0004 \cdot 0,379 \approx \mathbf{0,186} $$

a) Ha $p = 3$, akkor $f(x) = -3x^3 + 9x - 6$. Az integrál kiszámítása a Newton-Leibniz szabállyal történik: $$ \int_{0}^{2} (-3x^3 + 9x - 6)dx = \left[ -0,75x^4 + 4,5x^2 - 6x \right]_0^2 = $$ $$ = \left( -0,75 \cdot 16 + 4,5 \cdot 4 - 6 \cdot 2 \right) - 0 = -12 + 18 - 12 = \mathbf{-6} $$

b) Ha $x = 1$ zérushely, akkor $f(1) = 0$. Behelyettesítve: $$ -3 + (p - 3) \cdot 1^2 + p^2 \cdot 1 - 6 = 0 $$ $$ p^2 + p - 12 = 0 $$ Ennek a másodfokú egyenletnek a megoldásaiból adódik, hogy a keresett paraméterértékek: $\mathbf{p = 3}$ vagy $\mathbf{p = -4}$.

c) A deriváltfüggvény hozzárendelési szabálya: $$ f'(x) = -9x^2 + 2(p - 3)x + p^2 $$ Ennek az $x = 1$-hez tartozó helyettesítési értéke: $$ f'(1) = -9 + 2(p - 3) + p^2 = p^2 + 2p - 15 $$ Megoldandó tehát a $p^2 + 2p - 15 > 0$ egyenlőtlenség. A $p^2 + 2p - 15 = 0$ egyenlet megoldásai a $3$ és a $-5$. Mivel az egyenlőtlenség bal oldalán álló polinom főegyütthatója pozitív (felfelé nyíló parabola), ezért az egyenlőtlenség akkor teljesül, ha: $$ \mathbf{p < -5 \text{ vagy } p > 3} $$

a) 16 nyomólemez óránként \( 16 \cdot 100 = 1600 \) plakát elkészítését teszi lehetővé.
Ezért a teljes mennyiséghez \( \frac{14400}{1600} = 9 \) óra szükséges.
A nyomólemezek előállítási költsége és a munkaidő további költségének összege: $$ 16 \cdot 2500 + 9 \cdot 40000 = 40000 + 360000 = \mathbf{400\,000 \text{ Ft}} $$

b) Ha a nyomda \( x \) db nyomólemezt alkalmaz, akkor ezek ára \( 2500x \) forint.
Az \( x \) db lemezzel óránként \( 100x \) darab plakát készül el, ezért a 14 400 darab kinyomtatása \( \frac{14400}{100x} = \frac{144}{x} \) órát vesz igénybe.
Ez további \( \frac{144}{x} \cdot 40000 = \frac{5,76 \cdot 10^6}{x} \) forint költséget jelent.
A két költség összege egy \( x > 0 \) függvényként felírva: $$ K(x) = 2500x + \frac{5,76 \cdot 10^6}{x} $$ A minimumot a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséggel elegantán megkaphatjuk (\( A + B \ge 2\sqrt{AB} \)): $$ 2500x + \frac{5,76 \cdot 10^6}{x} \ge 2 \cdot \sqrt{2500x \cdot \frac{5,76 \cdot 10^6}{x}} $$ $$ 2 \cdot \sqrt{1,44 \cdot 10^{10}} = 2 \cdot 1,2 \cdot 10^5 = 240\,000 $$ A két költség összege tehát nem lehet kevesebb 240 000 forintnál.
Az egyenlőség akkor teljesül (a minimum helye), amikor a két tag egyenlő: $$ 2500x = \frac{5,76 \cdot 10^6}{x} \implies x^2 = \frac{5\,760\,000}{2500} = 2304 $$ Mivel \( x > 0 \), ebből \( \mathbf{x = 48} \) adódik.
A legkisebb költség eléréséhez tehát 48 darab nyomólemezt kell alkalmazni, és a költségek összege ekkor 240 000 Ft.

a) A havi bevétel függvénye az eladott mennyiség és az ár szorzata: $$ B(x) = x(36 - 0,03x) = -0,03x^2 + 36x $$ Ez egy lefelé nyíló parabola, melynek maximumhelye a derivált zérushelye, vagy a parabola csúcsa: $$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{36}{-0,06} = \mathbf{600 \text{ kg}} $$ A legnagyobb bevétel: \( B(600) = -0,03 \cdot 600^2 + 36 \cdot 600 = \mathbf{10800 \text{ euró}} \).

b) A nyereségfüggvény a bevétel és a kiadás különbsége: $$ Ny(x) = B(x) - K(x) = (-0,03x^2 + 36x) - (0,0001x^3 - 30,12x + 13000) $$ $$ Ny(x) = -0,0001x^3 - 0,03x^2 + 66,12x - 13000 $$ A maximum megkereséséhez deriváljuk a függvényt és egyenlővé tesszük nullával: $$ Ny'(x) = -0,0003x^2 - 0,06x + 66,12 = 0 $$ Ezt felszorozva -10000-rel: $$ 3x^2 + 600x - 661200 = 0 \implies x^2 + 200x - 220400 = 0 $$ A másodfokú egyenlet pozitív gyöke: \( x = 380 \text{ kg} \). (A negatív gyök értelmetlen a feladat szempontjából, és a második derivált itt negatív, tehát maximum).
A legnagyobb nyereség behelyettesítve: $$ Ny(380) = -0,0001 \cdot 380^3 - 0,03 \cdot 380^2 + 66,12 \cdot 380 - 13000 = \mathbf{2306,4 \text{ euró}} $$

a) Kiszámítjuk a határozott integrált tagonként integrálva: $$ \int_0^a \left( -\frac{4x^3}{a} + \frac{3x^2}{a} + \frac{2x}{a} - a \right) dx = \left[ -\frac{x^4}{a} + \frac{x^3}{a} + \frac{x^2}{a} - ax \right]_0^a $$ Behelyettesítjük a felső határt (az alsó határnál 0-t kapunk): $$ = -\frac{a^4}{a} + \frac{a^3}{a} + \frac{a^2}{a} - a \cdot a = -a^3 + a^2 + a - a^2 = \mathbf{-a^3 + a} $$ Ezzel az állítást igazoltuk.

b) Megoldandó az \( a \in \mathbb{R}^+ \) feltétel mellett a \( -a^3 + a \ge 0 \) egyenlőtlenség. Kiemeléssel szorzattá alakítjuk: $$ a(1 - a^2) \ge 0 \implies a(1 - a)(1 + a) \ge 0 $$ Mivel \( a > 0 \), így az \( a \) és az \( (1+a) \) tényező biztosan pozitív. Így csak az \( 1 - a \ge 0 \) feltételnek kell teljesülnie: $$ 1 - a \ge 0 \implies a \le 1 $$ A lehetséges értékek: \( 0 < a \le 1 \).

c) A lokális szélsőértékhely megkereséséhez a függvény első deriváltját egyenlővé tesszük nullával: $$ g'(x) = -3x^2 + 1 = 0 \implies 3x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{3} $$ A pozitív valós megoldás \( x = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Ellenőrizzük a második deriválttal, hogy ez valóban maximumhely-e: $$ g''(x) = -6x $$ $$ g''\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{6}{\sqrt{3}} < 0 $$ Mivel a második derivált negatív, a függvénynek valóban lokális maximuma van az \( x = \frac{1}{\sqrt{3}} \) helyen.

Jelölje \( r \) a gömbszelet és a hozzá illeszkedő henger közös alapkörének sugarát. A gömb sugarára és ezekre az adatokra felírható egy derékszögű háromszög Pitagorasz-tétele a gömb középpontja körül. Ennek átfogója 10, befogói \( r \) és \( m - 10 \). Ez alapján:

$$ r^2 + (m - 10)^2 = 10^2 \implies r^2 = 100 - (m^2 - 20m + 100) = 20m - m^2 $$

A váza teljes térfogata a gömbszelet és a henger térfogatának összege: \( V = V_{\text{gömbszelet}} + V_{\text{henger}} \).

$$ V(m) = \frac{\pi}{6}m(3r^2 + m^2) + \pi r^2 m $$

Behelyettesítve \( r^2 \) kapott kifejezését az \( m \) függvényében:

$$ V(m) = \frac{\pi}{6}m \cdot [3(20m - m^2) + m^2] + \pi m(20m - m^2) $$ $$ V(m) = \frac{\pi}{6}m(60m - 2m^2) + 20\pi m^2 - \pi m^3 $$ $$ V(m) = 10\pi m^2 - \frac{\pi}{3}m^3 + 20\pi m^2 - \pi m^3 $$ $$ V(m) = 30\pi m^2 - \frac{4\pi}{3}m^3 $$

Ennek a köbös polinomfüggvénynek keressük a maximumát a \( ]10; 20[ \) nyílt intervallumon. Deriváljuk az \( m \) függvényében:

$$ V'(m) = 60\pi m - 4\pi m^2 = 4\pi m (15 - m) $$

A derivált zérushelye \( V'(m) = 0 \), ami az adott intervallumon akkor teljesül, ha \( m = 15 \).

Mivel a derivált függvény grafikonja (mint másodfokú lefelé nyitott parabola) 15-ig pozitív (a térfogat nő), 15 után negatív (a térfogat csökken), az \( m = 15 \) értéknél valóban abszolút maximuma van a függvénynek.

Jancsinak tehát 15 cm magasságot kell választania ahhoz, hogy a vázába a lehető legtöbb víz férjen.

a) Mivel \( A, E \) a nagy kör átmérőjének végpontjai, Thalész tétele miatt az \( \angle ABE = 90^\circ \). Ugyanígy \( E, D \) a kis kör átmérőjének végpontjai, így \( \angle CDE = 90^\circ \). Ebből következik, hogy az \( AB \) és \( CD \) szakaszok is merőlegesek a \( BC \) egyenesre, tehát \( AB \parallel CD \). Mivel a négyszögnek van párhuzamos oldalpárja, a négyszög trapéz.

b) Az \( ABE \) derékszögű háromszögben felírható: $$ BE = 2R\cos\alpha \quad \text{és} \quad AB = 2R\sin\alpha $$ A \( CDE \) derékszögű háromszögben felírható: $$ CE = 2r\cos\alpha $$ Így az \( ABC \) háromszög \( BC \) alapja: $$ BC = BE + CE = 2R\cos\alpha + 2r\cos\alpha = 2(R+r)\cos\alpha $$ Mivel az \( \angle ABC \) derékszög (a nagy körben Thalész tétel miatt), a háromszög területe: $$ T_{ABC} = \frac{AB \cdot BC}{2} = \frac{2R\sin\alpha \cdot 2(R+r)\cos\alpha}{2} $$ Egyszerűsítve és a kétszeres szög szinuszának azonosságát (\( 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha \)) felhasználva: $$ T_{ABC} = 2R(R+r)\sin\alpha\cos\alpha = \mathbf{R(R+r)\sin 2\alpha} $$ Ezzel az állítást igazoltuk.

c) A területfüggvény egyetlen változója a hegyesszögű \( \alpha \). A \( \sin 2\alpha \) kifejezés maximális értéke 1, amit a \( 2\alpha = 90^\circ \) helyen vesz fel.
Ebből következik, hogy a terület \( \mathbf{\alpha = 45^\circ} \) esetén lesz maximális.

a) A differenciálható \( f \) függvénynek az \( x = 1 \) akkor lehet szélsőérték-helye, ha itt az első deriváltja nulla.
\( f'(x) = 3x^2 + 2kx + 9 \). Ebből a feltétel: $$ f'(1) = 3 + 2k + 9 = 0 \implies 2k = -12 \implies \mathbf{k = -6} $$ Ezzel a \( k \) értékkel a derivált függvény: \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \).
A másodfokú polinom szorzatalakja: \( f'(x) = 3(x - 1)(x - 3) \).
- Az \( x = 1 \) helyen a derivált pozitívból negatívba vált, ezért itt az \( f \) függvénynek lokális maximuma van.
- Mivel a deriváltnak van egy másik zérushelye az \( x = 3 \) helyen, és itt negatívból pozitívba vált az előjele, az \( f \) függvénynek az \( x = 3 \) pontban lokális minimuma van, amivel az állítást igazoltuk.

b) Az inflexiós pont megtalálásához a \( g(x) \) függvény második deriváltjának zérushelyét és előjelváltását vizsgáljuk.
Az első derivált: \( g'(x) = 3x^2 - 18x \).
A második derivált: \( g''(x) = 6x - 18 \).
A zérushely: \( 6x - 18 = 0 \implies x = 3 \).
Mivel itt a második derivált előjelet vált (negatívból pozitívba), a \( g \) függvény inflexiós pontja az \( x = 3 \) helyen található.
A pont \( y \)-koordinátája: \( g(3) = 3^3 - 9 \cdot 3^2 = 27 - 81 = -54 \).
Az inflexiós pont koordinátái: \( (3; -54) \).

a) Zérushelyek keresése a megadott intervallumon: $$ -4x^3 + 192x = 0 $$ $$ -4x(x^2 - 48) = 0 $$ Ebből a gyökök \( x = 0 \) és \( x = \pm\sqrt{48} \approx \pm 6,93 \). A \( [-1; 6] \) intervallumba eső egyetlen zérushely a 0.

A monotonitás vizsgálatához tekintsük az első deriváltat: $$ f'(x) = -12x^2 + 192 $$ A derivált zérushelye a megadott intervallumon: $$ -12(x^2 - 16) = 0 \implies x = 4 \quad (\text{a } -4 \text{ nincs a tartományban}) $$ A derivált itt előjelet vált pozitívból negatívba (lefelé nyíló parabola).
Az \( f \) függvény tehát monoton növekedő a \( [-1; 4] \) intervallumon, és monoton csökkenő a \( [4; 6] \) intervallumon.

b) Mivel az elvégzett vizsgálat alapján a \( [0; c] \) intervallumon (ahol \( c \le 6 \)) a függvény végig nemnegatív (\( f(x) \ge 0 \)), a keresett terület a határozott integrállal egyezik meg: $$ \int_0^c (-4x^3 + 192x) \, dx = 704 $$ Megkeresve a primitív függvényt: $$ \left[ -x^4 + 96x^2 \right]_0^c = 704 $$ $$ -c^4 + 96c^2 = 704 $$ Átrendezve egy másodfokúra visszavezethető egyenletet kapunk: $$ c^4 - 96c^2 + 704 = 0 $$ A másodfokú megoldóképletet alkalmazva (\( c^2 \)-re): $$ c^2 = \frac{96 \pm \sqrt{9216 - 2816}}{2} = \frac{96 \pm \sqrt{6400}}{2} = \frac{96 \pm 80}{2} $$ Így \( c^2 = 8 \) vagy \( c^2 = 88 \).
Mivel \( c \) az értelmezési tartomány pozitív eleme (\( 0 < c \le 6 \)), a \( \sqrt{88} \approx 9,38 \) kiesik.
Az egyetlen megfelelő megoldás: \( c = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \).

a) A parabola egyenletének teljes négyzetté alakítása: $$ y = (x - 4)^2 - 5 $$ A függvény grafikonja egy felfelé nyíló parabola, melynek csúcspontja \( C(4; -5) \).
Néhány fontosabb pont a \([0; 6]\) intervallumon, amelyek alapján a görbe ábrázolható: \( (0; 11), (2; -1), (4; -5), (6; -1) \).

b) Az érintő meredekségét a függvény első deriváltja adja meg az érintési pontban. $$ y' = 2x - 8 $$ Helyettesítsük be a \( P(5; -4) \) pont \( x \) koordinátáját: $$ m = y'(5) = 2 \cdot 5 - 8 = 2 $$ Az érintő egyenletének felírása (\( y - y_0 = m(x - x_0) \)): $$ y - (-4) = 2(x - 5) $$ $$ y + 4 = 2x - 10 $$ $$ \mathbf{y = 2x - 14} $$

a) Az \( f(x) = 0 \) egyenletet kell megoldani:
$$ x^3 - 3x = x(x^2 - 3) = x(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3}) = 0 $$ Ebből a zérushelyek: \( x_1 = -\sqrt{3} \), \( x_2 = 0 \), \( x_3 = \sqrt{3} \). Mindhárom gyök eleme az értelmezési tartománynak, így mindegyik zérushely.

b) Az \( f \) differenciálható, a monotonitás vizsgálatához az első derivált előjelét elemezzük:
$$ f'(x) = 3x^2 - 3 $$ Az első derivált nulla, ha \( 3x^2 - 3 = 0 \), azaz \( x = -1 \) vagy \( x = 1 \). Készítsünk táblázatot az előjelviszonyokról:

A függvény a \( [-2,5; -1] \) és az \( [1; 2,5] \) intervallumokon szigorúan monoton növekvő, a \( [-1; 1] \) intervallumon pedig szigorúan monoton csökkenő.

c) A függvény felveszi helyi szélsőértékeit az \( x = -1 \) és \( x = 1 \) helyeken (értékük 2 és -2).
A globális szélsőértékekhez meg kell vizsgálni az intervallum végpontjaiban felvett függvényértékeket is:
\( f(-2,5) = (-2,5)^3 - 3(-2,5) = -15,625 + 7,5 = -8,125 \)
\( f(2,5) = 2,5^3 - 3(2,5) = 15,625 - 7,5 = 8,125 \)
Összehasonlítva az értékeket, a legkisebb függvényérték \( -8,125 \), a legnagyobb függvényérték pedig \( 8,125 \).

a) Az eredeti \( ABC \) szabályos háromszög magassága 1,5 dm. Mivel \( m = \frac{a \sqrt{3}}{2} = 1,5 \), a háromszög oldalhossza \( a = \sqrt{3} \) dm.
Minden oldallal párhuzamost húzunk \( x \) távolságra befelé. Az újonnan kapott \( A_1 B_1 C_1 \) háromszög is szabályos. Ha a nagy háromszög sarkainál megvizsgáljuk az elhagyott részeket, észrevesszük, hogy a szögfelezők mentén csökken a beírt körhöz hasonló módon a méret.
A levágott rész oldalhosszra gyakorolt hatását a csúcsnál lévő \( 30^\circ \)-os derékszögű háromszögből számíthatjuk. Az oldal rövidülése mindkét végén \( x \cdot \cot 30^\circ = x\sqrt{3} \). Így az új háromszög oldalhossza \( b \)-vel jelölve: $$ b = \sqrt{3} - 2x\sqrt{3} = \sqrt{3}(1 - 2x) $$ Az \( A_1 B_1 C_1 \) háromszög területe az oldal ismeretében felírható: $$ T_{A_1 B_1 C_1} = \frac{b^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\left( \sqrt{3}(1 - 2x) \right)^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \mathbf{\frac{3\sqrt{3}(1 - 2x)^2}{4}} $$

b) A hasáb alaplapja az \( A_1 B_1 C_1 \) háromszög, magassága a felhajtott \( x \). Így a hasáb térfogata \( V(x) = T_{A_1 B_1 C_1} \cdot x \): $$ V(x) = \frac{3\sqrt{3}(1 - 2x)^2}{4} \cdot x = \frac{3\sqrt{3}}{4} \left( 1 - 4x + 4x^2 \right) x = \frac{3\sqrt{3}}{4} \left( x - 4x^2 + 4x^3 \right) $$ Mivel \( x < 0,5 \), az értelmezési tartomány \( 0 < x < \frac{1}{2} \).
A maximum megkereséséhez deriváljuk a térfogatfüggvényt: $$ V'(x) = \frac{3\sqrt{3}}{4} \left( 1 - 8x + 12x^2 \right) $$ A lokális szélsőérték ott lehet, ahol a derivált nulla: $$ 12x^2 - 8x + 1 = 0 $$ Ennek a másodfokú egyenletnek a gyökei: \( x_1 = \frac{1}{2} \) és \( x_2 = \frac{1}{6} \).
Mivel az értelmezési tartomány az \( ]0; 0,5[ \) intervallum, így az \( x = \frac{1}{2} \) nem lehet megoldás.
A derivált függvény előjelváltásából (vagy a második deriváltból) egyértelmű, hogy \( x = \frac{1}{6} \) lokális és abszolút maximumot ad a vizsgált tartományon.
A térfogat tehát akkor maximális, ha \( \mathbf{x = \frac{1}{6}} \) dm.