Tizedes törtek

A véges tizedes törtet úgy írjuk át, hogy a számlálóba a számjegyeket írjuk tizedesvessző nélkül, a nevezőbe pedig egy $1$-est és annyi nullát, ahány tizedesjegy volt. Tehát $0,75 = \frac{75}{100}$. Ezt a törtet $25$-tel lehet egyszerűsíteni, így az eredmény $\frac{3}{4}$.

Legyen $x = 0,333\dots$. Szorozzuk meg az egyenletet $10$-zel: $10x = 3,333\dots$. Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt: $10x - x = 3,333\dots - 0,333\dots$, azaz $9x = 3$. Ebből kapjuk, hogy $x = \frac{3}{9}$, ami egyszerűsítve $\frac{1}{3}$.

Legyen $x = 0,1666\dots$. Szorozzuk meg mindkét oldalt $100$-zal, hogy a szakasz végéhez toljuk a vesszőt: $100x = 16,666\dots$. Szorozzuk meg $10$-zel is, hogy a szakasz elé toljuk a vesszőt: $10x = 1,666\dots$. Kivonva az egyenleteket egymásból: $90x = 15$. Így $x = \frac{15}{90}$, ami $15$-tel egyszerűsítve $\frac{1}{6}$.

Kétféleképpen is eljárhatunk. Az egyik módszer a bővítés: mivel $8 = 2^3$, a nevezőt $10^3 = 1000$-re tudjuk bővíteni úgy, hogy $5^3 = 125$-tel szorzunk. $\frac{7 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{875}{1000} = 0,875$. A másik módszer az írásbeli osztás elvégzése: $7 : 8 = 0,875$.

Végezzük el az írásbeli osztást: $5 : 11 = 0$, marad az $5$. Behozunk egy nullát: $50 : 11 = 4$, marad a $6$. Behozunk egy nullát: $60 : 11 = 5$, marad az $5$. Az $50$-es maradék újra előállt, így a minta ismétlődik. Az eredmény a végtelen szakaszos $0,4545\dots$ tizedes tört, amelyet $0,\overline{45}$ alakban írunk fel.

Egy tovább már nem egyszerűsíthető racionális szám tizedes tört alakja akkor és csak akkor véges, ha a nevező prímtényezős felbontásában csak a $2$ és az $5$ szerepel. A $\frac{13}{40}$ tört tovább nem egyszerűsíthető. A nevező prímtényezős alakja: $40 = 2^3 \cdot 5$. Mivel csak a $2$-es és az $5$-ös prímek szerepelnek benne, a tizedes tört alak véges.

Legyen $x = 0,4545\dots$. Mivel a szakasz két számjegyből áll, szorozzuk meg $100$-zal: $100x = 45,4545\dots$. A második egyenletből kivonva az elsőt kapjuk, hogy $99x = 45$. Ebből $x = \frac{45}{99}$. A számlálót és a nevezőt is eloszthatjuk $9$-cel, így a végeredmény $\frac{5}{11}$.

Legyen $x = 2,34141\dots$. Szorozzuk be $1000$-rel, hogy a vessző egy teljes szakasz végére kerüljön: $1000x = 2341,4141\dots$. Majd szorozzuk be $10$-zel, hogy a vessző a szakasz elejére kerüljön: $10x = 23,4141\dots$. Kivonva az egyenleteket kapjuk: $990x = 2318$. Így $x = \frac{2318}{990}$, amelyet $2$-vel egyszerűsítve az eredmény $\frac{1159}{495}$.

Tudjuk, vagy kiszámoljuk, hogy az $\frac{1}{7}$ tizedes tört alakja $0,\overline{142857}$. A szakasz hossza $6$ számjegy. Meg kell vizsgálnunk, mennyi a $100$-nak a $6$-tal való osztási maradéka. $100 = 16 \cdot 6 + 4$. Ez azt jelenti, hogy $16$-szor lefut a teljes $6$ jegyű ciklus, és a $100.$ számjegy a szakasz $4.$ számjegye lesz. A szakasz $4.$ számjegye a $8$.

Igen, egyenlő. Bizonyítás algebrai úton: Legyen $x = 0,999\dots$. Ekkor $10x = 9,999\dots$. A második egyenletből az elsőt kivonva kapjuk: $9x = 9$, amiből azonnal következik, hogy $x = 1$. Egy másik módja a belátásnak, ha tudjuk, hogy $\frac{1}{3} = 0,333\dots$. Ha mindkét oldalt megszorozzuk $3$-mal, akkor $1 = 0,999\dots$ adódik.

A legmegbízhatóbb módszer, ha közönséges törtté alakítjuk őket. $0,\dot{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Hasonlóan $0,\dot{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$. A két szám összege tehát $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1$. Ha közvetlenül adjuk össze a végtelen tizedes törteket: $0,333\dots + 0,666\dots = 0,999\dots$, amiről tudjuk, hogy az értéke pontosan $1$.

A szám irracionális. A racionális számok tizedes tört alakja véges vagy végtelen szakaszos. Bár a szám számjegyeiben van logikai szabályszerűség (a nullák száma folyamatosan nő), nem található benne egy olyan rögzített hosszúságú számsor (szakasz), ami a végtelenségig ismétlődne. Mivel végtelen nem szakaszos tizedes tört, ezért irracionális.

Egy tovább nem egyszerűsíthető tört tizedes tört alakja pontosan akkor véges, ha a nevező ($q$) prímtényezős felbontásában a $2$-n és az $5$-ön kívül semmilyen más prímszám nem szerepel. Ennek az az oka, hogy a tízes számrendszer alapszáma $10 = 2 \cdot 5$, és a véges tizedes törtek felírhatók $10^k$ nevezőjű törtként.

A $0,0025$ tört négy tizedesjegyet tartalmaz, tehát $10\,000$ a nevezője: $\frac{25}{10000}$. Osszuk el a számlálót és a nevezőt is $25$-tel, így a legegyszerűbb alak $\frac{1}{400}$.

Először írjuk át a $0,\overline{27}$ tizedes törtet közönséges törtté. A megszokott módszerrel: $x = 0,2727\dots$, majd $100x = 27,2727\dots$, kivonva kapjuk: $99x = 27$, így $x = \frac{27}{99}$. Ezt egyszerűsítsük $9$-cel, így $\frac{3}{11}$ adódik. A szorzat tehát: $\frac{3}{11} \cdot 11 = 3$.

A nevező prímtényezős felbontása: $21 = 3 \cdot 7$. Ahhoz, hogy egy tört véges tizedes tört legyen, egyszerűsítés után a nevező nem tartalmazhat $2$-től és $5$-től különböző prímtényezőt. Ez azt jelenti, hogy a számlálónak (azaz az $x$-nek) a rövidülés során el kell tudnia tüntetni a $3$-at és a $7$-et. Ebből következően $x$-nek oszthatónak kell lennie $21$-gyel. A legkisebb pozitív ilyen egész szám maga a $21$. Ebben az esetben a tört értéke $1$, ami felfogható véges tizedes törtként (vagy ha valódi tizedestörtet várunk, pl $42$, az $2$ stb. A $21$ a legkisebb).

Mindkét számot átalakítjuk. $0,1\dot{2}$: $100x = 12,22\dots$, $10x = 1,22\dots \implies 90x = 11 \implies \frac{11}{90}$. A másik szám $0,0\dot{5}$: $100y = 5,55\dots$, $10y = 0,55\dots \implies 90y = 5 \implies \frac{5}{90}$. A két tört összege: $\frac{11}{90} + \frac{5}{90} = \frac{16}{90}$. Ezt az eredményt $2$-vel lehet egyszerűsíteni, így megkapjuk a $\frac{8}{45}$ végeredményt.

Bontsuk fel a számot egész és tört részre: $3 + 0,\overline{142857}$. A tizedes tört részt úgy írhatjuk át, hogy a számláló $142857$, a nevező pedig $999999$. Megfelelő ismertséggel (vagy egyszerűsítéssel) felismerhető, hogy $\frac{142857}{999999} = \frac{1}{7}$. Így a szám $3 + \frac{1}{7} = \frac{21}{7} + \frac{1}{7} = \frac{22}{7}$.

Az osztást elvégezve: $1 : 13 = 0$, maradék az $1$.
$10 : 13 = 0$, maradék $10$.
$100 : 13 = 7$, maradék $9$ (mivel $7 \cdot 13 = 91$).
$90 : 13 = 6$, maradék $12$ (mivel $6 \cdot 13 = 78$).
$120 : 13 = 9$, maradék $3$ (mivel $9 \cdot 13 = 117$).
$30 : 13 = 2$, maradék $4$ (mivel $2 \cdot 13 = 26$).
$40 : 13 = 3$, maradék $1$ (mivel $3 \cdot 13 = 39$).
Az $1$-es maradék újra felbukkant, innen ismétlődik a minta. A tizedes tört alak $0,\overline{076923}$, így a szakasz hossza $6$ számjegy.

Az állítás hamis. A végtelen szakaszos tizedes törtek (például a $0,333\dots = \frac{1}{3}$) racionális számok, mert felírhatók két egész szám hányadosaként. Kizárólag a végtelen nem szakaszos tizedes törtek az irracionális számok.