A számegyenes és a valós számok

Két szám távolságát a különbségük abszolútértéke adja meg. $$ \left| \frac{5}{6} - \left( -\frac{3}{4} \right) \right| = \left| \frac{5}{6} + \frac{3}{4} \right| $$ Közös nevezőre hozva (a közös nevező 12): $$ \frac{10}{12} + \frac{9}{12} = \frac{19}{12} $$ A két szám távolsága tehát $\frac{19}{12}$.

Két pont felezőpontjának koordinátáját a két szám számtani közepe adja meg. $$ \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{2} $$ Kiszámítva a számlálót: $$ \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6} $$ A kapott összeget elosztva 2-vel: $$ \frac{\frac{5}{6}}{2} = \frac{5}{12} $$ A felezőpont koordinátája $\frac{5}{12}$.

Ennek legegyszerűbb módja a törtek bővítése. Szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt is 2-vel. $$ \frac{2}{7} = \frac{4}{14} \quad \text{és} \quad \frac{3}{7} = \frac{6}{14} $$ A két bővített tört közé esik a $\frac{5}{14}$, amely egy racionális szám. Egy másik jó módszer a két szám számtani közepének ($\frac{5}{14}$) kiszámítása.

Ezt a tulajdonságot a racionális számok halmazának sűrűségének nevezzük. A racionális számok sűrűek a valós számok halmazán belül. Ez azt jelenti, hogy a számegyenesen bármennyire is közel választunk ki két racionális pontot, mindig lesz köztük végtelen sok másik racionális pont.

Tegyük fel indirekt módon, hogy a $\sqrt{2}$ felírható egy tovább nem egyszerűsíthető $\frac{p}{q}$ alakú törtként, ahol $p$ és $q$ relatív prím egész számok. $$ \sqrt{2} = \frac{p}{q} $$ Négyzetre emelve mindkét oldalt, majd átrendezve: $$ 2 = \frac{p^2}{q^2} \implies 2q^2 = p^2 $$ Mivel a bal oldal páros, ezért $p^2$-nek is párosnak kell lennie. Ez csak úgy lehetséges, ha maga a $p$ is páros. Tehát $p = 2k$ (ahol $k$ egész). Helyettesítsük ezt vissza: $$ 2q^2 = (2k)^2 \implies 2q^2 = 4k^2 \implies q^2 = 2k^2 $$ Ebből az következik, hogy $q^2$ is páros, tehát $q$ is páros. Mivel $p$ és $q$ is páros szám, egyszerűsíthetők lennének 2-vel, ami ellentmond annak a kezdeti feltevésünknek, hogy a $\frac{p}{q}$ tört tovább nem egyszerűsíthető. Az ellentmondás miatt az eredeti feltevés hamis, tehát $\sqrt{2}$ irracionális.

A szerkesztés a Pitagorasz-tételen alapul.

1. A számegyenesen a 0 origóból állítsunk egy merőleges szakaszt, amelynek hossza pontosan 1 egység. Az alap is 1 egység (0-tól 1-ig).
2. Ezzel létrejön egy derékszögű háromszög, amelynek mindkét befogója 1 egység hosszú.
3. A háromszög átfogójának hossza a Pitagorasz-tétel szerint $c^2 = 1^2 + 1^2 = 2$, tehát $c = \sqrt{2}$.
4. Körzővel mérjük fel az átfogó hosszát a 0 pontból kiindulva a számegyenes pozitív irányába. A körív és a számegyenes metszéspontja adja meg a $\sqrt{2}$ pontos helyét.

A $\sqrt{2}$ egy irracionális szám, amelynek tizedestört alakja végtelen és nem szakaszos: $1,41421356...$

Ha összehasonlítjuk az $1,414$ racionális számmal (ami pontosan $1,414000...$), láthatjuk, hogy a $\sqrt{2}$ a negyedik tizedesjegynél nagyobb ($2 > 0$). Mivel a $\sqrt{2}$ nagyobb, mint az $1,414$, ezért a $\sqrt{2}$ helyezkedik el tőle jobbra a számegyenesen.

A "teljesség" azt jelenti, hogy a számegyenes minden egyes geometriai pontjához hozzárendelhető pontosan egy valós szám, és megfordítva, minden valós számnak pontosan egyetlen pont felel meg a számegyenesen. Ha csak a racionális számokat ábrázolnánk, a számegyenes "lyukacsos" maradna az irracionális számok helyén (például hiányozna a $\sqrt{2}$ vagy a $\pi$ pontja). A valós számok halmaza (amely magába foglalja az irracionális számokat is) kitölti ezeket a lyukakat, biztosítva a folytonosságot.

Ismét a Pitagorasz-tételt használjuk, ezúttal egy olyan derékszögű háromszöget szerkesztve, amelynek befogói nem mind 1 egység hosszúak.

Az előző feladat alapján már ismerjük a $\sqrt{2}$ távolságot az origótól. Állítsunk merőlegest a számegyenesre a $\sqrt{2}$ pontjában, amelynek hossza pontosan 1 egység.

Az origót ezzel az új ponttal összekötve egy olyan derékszögű háromszöget kapunk, melynek befogói $\sqrt{2}$ és $1$. Az átfogó ($c$) hossza: $$ c^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 \implies c = \sqrt{3} $$ Ezt a távolságot a 0-ból körzővel a számegyenesre felmérve megkapjuk a $\sqrt{3}$ helyét. (Ezt az eljárást folytatva kapjuk a Theodórosz-csigát).

Több végtelen sok jó megoldás is létezik. Ha olyan gyökös kifejezést keresünk, amelynek értéke 1 és 2 közé esik, vizsgáljuk meg a négyzetüket: $1^2 = 1$ és $2^2 = 4$. Bármely olyan egész szám négyzetgyöke, amely 1 és 4 között van, jó megoldás, feltéve, hogy nem négyzetszám.

Például a $\sqrt{2} \approx 1,414$ vagy a $\sqrt{3} \approx 1,732$ tökéletes válasz, de ide tartozik a $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ is.

Tudjuk, hogy a $\sqrt{2} \approx 1,414$ és a $\sqrt{3} \approx 1,732$. Keresnünk kell egy olyan tizedestörtet (vagy közönséges törtet), amely e két érték közé esik.

Egy egyszerű megoldás az $1,5$, ami felírható $\frac{3}{2}$ alakban. Egy másik helyes válasz az $1,6$, azaz $\frac{8}{5}$, vagy akár az $1,42$, ami $\frac{142}{100} = \frac{71}{50}$.

Két pont távolságát a számegyenesen a koordinátáik különbségének abszolútértéke adja meg. $$ d = \left| 2\sqrt{5} - (-\sqrt{5}) \right| $$ $$ d = \left| 2\sqrt{5} + \sqrt{5} \right| $$ $$ d = \left| 3\sqrt{5} \right| = 3\sqrt{5} $$ A távolság pontos értéke $3\sqrt{5}$.

Ez a Cantor-Dedekind-axióma. Ez az elv alapozza meg a geometria és az analízis (például a koordinátageometria) összekapcsolását, hiszen kimondja a számegyenes folytonosságát (hézagmentességét) és a valós számok teljességét.

Bár a $\frac{22}{7}$ egy elterjedt és hasznos közelítése a $\pi$-nek, a két érték nem egyenlő.

A $\pi$ értéke megközelítőleg $3,14159...$
A $\frac{22}{7}$ értéke megközelítőleg $3,14285...$

Látható, hogy $\pi < \frac{22}{7}$, ebből kifolyólag a $\pi$ foglal helyet balra a $\frac{22}{7}$-hez képest a számegyenesen.

Az állítás igaz. A racionális számok halmaza sűrű a valós számok halmazában. Ez azt jelenti, hogy akármilyen apró intervallumot is vizsgálunk a számegyenesen, abban biztosan fogunk találni legalább egy, és ebből következően végtelen sok racionális számot.

Az állítás igaz. Akárcsak a racionális számok, az irracionális számok halmaza is sűrű a valós számokon belül. Valójában "több" (nagyobb számosságú) irracionális szám létezik a számegyenesen, mint racionális. Bármely két, tetszőlegesen közeli szám közötti szakasz garantáltan végtelen sok irracionális számot is tartalmaz.

A szakasz teljes hossza az $A$ és $B$ pontok között $6 - (-4) = 10$ egység.
Az osztópont $2:3$ arányban osztja fel ezt a hosszt. Ez összesen $2 + 3 = 5$ egyenlő részt jelent.
Egy rész hossza: $\frac{10}{5} = 2$ egység.
Mivel a pont $A$-hoz van közelebb (az $A$-tól mért távolság 2 egységnyi arányú), ezért el kell indulnunk az $A(-4)$ pontból pozitív irányba $2 \cdot 2 = 4$ egységet.
Az osztópont koordinátája tehát: $-4 + 4 = 0$.

Két pont távolságát a koordinátáik különbségének abszolútértéke fejezi ki a számegyenesen. Mivel a távolság sosem lehet negatív, a sorrend mindegy. A helyes kifejezés: $$ |x - 3| $$ (Ez teljesen ekvivalens a $|3 - x|$ formával).

A kifejezést geometriailag úgy értelmezhetjük, hogy keressük azokat az $x$ pontokat a számegyenesen, amelyek távolsága a $2$-től szigorúan kisebb, mint $5$ egység.

Ha a $2$-esből elindulunk $5$ egységet balra, elérünk a $-3$-hoz ($2 - 5 = -3$).
Ha a $2$-esből elindulunk $5$ egységet jobbra, elérünk a $7$-hez ($2 + 5 = 7$).

Tehát azok a valós számok elégítik ki az egyenlőtlenséget, amelyek szigorúan a $-3$ és a $7$ között helyezkednek el: $$ -3 < x < 7 $$ Intervallum jelöléssel: $x \in ]-3; 7[$.

Tegyük fel indirekt módon, hogy a $\sqrt{3}$ racionális, azaz felírható két egész szám hányadosaként: $\sqrt{3} = \frac{p}{q}$, ahol a tört tovább nem egyszerűsíthető ($p$ és $q$ relatív prímek).

Négyzetre emelve kapjuk: $3 = \frac{p^2}{q^2}$, amiből $3q^2 = p^2$ következik.

Ez azt jelenti, hogy $p^2$ osztható 3-mal. Mivel a 3 prímszám, ez csak akkor lehetséges, ha a $p$ is osztható 3-mal, tehát felírható $p = 3k$ alakban (ahol $k$ egész).

Helyettesítsük ezt be az egyenletbe:
$3q^2 = (3k)^2$
$3q^2 = 9k^2$
$q^2 = 3k^2$

A kapott egyenletből látszik, hogy $q^2$ is osztható 3-mal, következésképpen a $q$ is osztható 3-mal. Ekkor a $p$ és $q$ mindkettő osztható 3-mal, ami ellentmond az eredeti feltételnek, miszerint relatív prímek voltak (tovább nem egyszerűsíthető tört). Az ellentmondás miatt feltevésünk helytelen volt, tehát a $\sqrt{3}$ irracionális.