Kiválasztás és sorrendbe rakás egyszerre. Ismétlés nélküli és ismétléses variációk.
A kombinatorika egyik legfontosabb területe a variáció, amivel akkor találkozunk, amikor adott számú elemből kell kiválasztanunk néhányat úgy, hogy a kiválasztottak sorrendje is számít. Az emelt szintű érettségin elengedhetetlen a különbségtétel az ismétlés nélküli (minden elemet csak egyszer választhatunk) és az ismétléses variációk (az elemek többször is szerepelhetnek) között. Oldd meg a lenti 20 feladatot az alapoktól a komplexebb vizsgafeladatokig!
1
Egy 5 fős baráti társaság egy 3 fős elnökséget választ (egy elnököt, egy titkárt és egy pénztárost). Hányféleképpen alakulhat az elnökség összetétele, ha egy ember legfeljebb egy tisztséget tölthet be?
Ez egy ismétlés nélküli variáció, mert az 5 emberből választunk 3-at, és a sorrend (ki melyik tisztséget kapja) számít.
Kiszámítása: Az elnöki posztra 5 ember közül választhatunk. A titkár posztra a maradék 4 emberből, a pénztárosi posztra a maradék 3 emberből.
$$ 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 $$
Tehát 60-féleképpen alakulhat az elnökség.
2
A könyvespolcon 6 üres hely van egymás mellett. Hányféleképpen rakhatunk be a polcra 4 különböző könyvet?
Az első könyvet 6 különböző helyre tehetjük. A második könyvnek már csak 5 szabad hely marad. A harmadiknak 4, a negyediknek pedig 3 szabad hely jut.
Mivel a könyvek és a helyek is különböznek, és minden könyvet pontosan egy helyre teszünk, az eredmény:
$$ 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360 $$
Tehát 360-féleképpen rendezhetjük el a könyveket.
3
Egy számzáras lakat kódja 3 tárcsából áll, mindegyik tárcsán a 0-9 számjegyek szerepelnek. Hány különböző kód állítható be a lakaton?
Ez egy ismétléses variáció. A 10 számjegyből választunk 3-at úgy, hogy a sorrend számít, és a számjegyek ismétlődhetnek.
Az első tárcsán 10-féle szám állítható be. A másodikon szintén 10, és a harmadikon is 10.
$$ 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3 = 1000 $$
Összesen 1000 különböző kód lehetséges (a 000-tól a 999-ig).
4
A totóban 14 mérkőzés kimenetelét kell megtippelni. Minden mérkőzésnél 3-féle tipp adható: 1 (hazai győzelem), 2 (vendég győzelem), X (döntetlen). Hányféleképpen lehet kitölteni egy totószelvényt?
Minden egyes mérkőzésnél 3 lehetőség közül választhatunk, és ezt összesen 14-szer kell megtennünk, ráadásul a választások függetlenek egymástól és ismétlődhetnek.
A lehetőségek száma (ismétléses variáció):
$$ 3^{14} = 4\ 782\ 969 $$
Tehát 4 782 969-féleképpen tölthető ki egy szelvény.
5
Az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek felhasználásával hány olyan 3 jegyű számot készíthetünk, amelyben minden számjegy legfeljebb egyszer szerepel?
A feladat szerint a számjegyek nem ismétlődhetnek. A nulla nem szerepel az elemek között, így nem kell figyelnünk arra, hogy azzal nem kezdődhet szám.
Az első helyi értékre 5-féle számjegy közül választhatunk. A másodikra a maradék 4-ből, a harmadikra a maradék 3-ból.
$$ 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 $$
Tehát 60 darab ilyen szám készíthető.
6
Az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek felhasználásával hány 3 jegyű számot készíthetünk, ha a számjegyek ismétlődhetnek?
Mivel a számjegyek ismétlődhetnek, minden helyi értékre az 5 megadott számjegy bármelyikét beírhatjuk.
Az első jegy 5-féle lehet, a második is 5-féle, és a harmadik is 5-féle.
$$ 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3 = 125 $$
Összesen 125 darab ilyen 3 jegyű szám képezhető.
7
Egy futóverseny döntőjében 6 versenyző indul. Hányféleképpen alakulhat a dobogósok (1., 2., 3. helyezett) sorrendje, ha nincs holtverseny?
A sorrend számít, és egy ember csak egy helyezést érhet el (ismétlés nélküli variáció).
Az első helyezett a 6 futó bármelyike lehet. A második helyre a maradék 5, a harmadik helyre a maradék 4 futó érhet be.
$$ 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120 $$
A dobogósok sorrendje 120-féleképpen alakulhat.
8
Egy urnában 5 különböző színű golyó van. A golyókat egymás után húzzuk ki úgy, hogy minden húzás után feljegyezzük a színét, majd visszatesszük az urnába. Hányféle 3 hosszúságú színsorozatot kaphatunk?
Mivel a kihúzott golyót visszatesszük, ugyanaz a szín többször is kihúzható a 3 húzás során. A sorrend természetesen számít.
Az első húzás 5-féle lehet. Mivel visszateszünk, a második és harmadik húzás is 5-5 féle lehet.
$$ 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3 = 125 $$
Összesen 125-féle színsorozatot kaphatunk.
9
Egy urnában 5 különböző színű golyó van. Egymás után kihúzunk 3 golyót, de a kihúzott golyókat nem tesszük vissza. Hányféle sorrendben húzhattuk ki a golyókat?
Mivel nincs visszatevés, egy szín csak egyszer szerepelhet a sorozatban (ismétlés nélküli variáció).
Az első golyó 5-féle lehet, a második már csak 4-féle, a harmadik pedig 3-féle.
$$ 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 $$
Tehát 60-féle sorrend lehetséges.
10
Hány olyan 4 jegyű PIN kód létezik (0000-tól 9999-ig), amelyben minden számjegy különböző?
Egy PIN kód kezdődhet 0-val is, tehát a 10 számjegy (0-9) mindegyike választható az első helyre is. Mivel minden számjegynek különbözőnek kell lennie, ez egy ismétlés nélküli variáció.
Az 1. számjegy 10-féle lehet. A 2. jegy már csak 9-féle. A 3. jegy 8-féle, a 4. jegy pedig 7-féle.
$$ 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040 $$
Tehát 5040 olyan PIN kód létezik, amiben nincs ismétlődés.
11
Hány olyan 4 jegyű PIN kód létezik (0000-tól 9999-ig), amelyben van legalább egy ismétlődő számjegy?
A "legalább egy" típusú feladatokat érdemes a komplementer (kizáró) eseményen keresztül kiszámolni:
(Összes lehetséges PIN kód) - (Olyan PIN kódok, amiben minden jegy más)
Az összes lehetséges PIN kód száma: \( 10^4 = 10\ 000 \)
Az előző feladatban kiszámoltuk, hogy 5040 olyan PIN kód van, amiben nincs ismétlődés.
$$ 10\ 000 - 5040 = 4960 $$
Tehát 4960 olyan PIN kód van, amiben van ismétlődő számjegy.
12
A magyar ábécé 35 betűjéből hány 5 betűs, értelmes vagy értelmetlen "szót" képezhetünk?
A betűk a szóban ismétlődhetnek (pl. az 'A' betű többször is szerepelhet). Sorrendjük nyilvánvalóan számít, mivel más-más szót alkotnak.
Az 5 pozíció mindegyikére 35 betű közül választhatunk.
Összesen \( 35^5 \) (azaz 52 521 875) különböző szót készíthetünk.
13
Egy 8 tagú bizottság maga közül egy elnököt és egy alelnököt választ. Hányféleképpen tehetik ezt meg?
Egy személy nem töltheti be mindkét posztot, és az elnök-alelnök pozíciók különböznek, tehát a sorrend számít.
Az elnök a 8 tag bármelyike lehet. Az alelnök a maradék 7 tag közül kerülhet ki.
$$ 8 \cdot 7 = 56 $$
A választás 56-féleképpen történhet.
14
Három különböző (pl. piros, kék, zöld) dobókockával dobunk. Hányféle különböző eredményt kaphatunk (ahol a kockákat megkülönböztetjük)?
Mivel a kockákat megkülönböztetjük, olyan, mintha sorban dobnánk velük (a piros kocka dobása az első elem, a kék a második, stb.). Egy szám (1-6) többször is előfordulhat a dobások között.
Minden kockánál 6 lehetséges kimenetel van.
$$ 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 $$
Összesen 216-féle dobássorozat lehetséges.
15
A 0, 1, 2, 3, 4 számjegyekből hány olyan 4 jegyű szám képezhető, amelyben nem ismétlődnek a számjegyek?
Ennél a feladatnál figyelnünk kell arra, hogy egy szám nem kezdődhet 0-val!
1. helyi érték: Csak 4 számjegy lehet (1, 2, 3, 4), mert a 0 ki van zárva.
2. helyi érték: Bár az egyik számjegyet elhasználtuk az első helyen, most már bejöhet a 0, így ismét 4 számjegyből választhatunk.
3. helyi érték: A maradék 3 számjegy közül választunk.
4. helyi érték: A maradék 2 számjegy közül választunk.
$$ 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 96 $$
Tehát 96 darab ilyen szám képezhető.
16
A 0, 1, 2, 3, 4 számjegyekből hány olyan 4 jegyű szám képezhető, ha a számjegyek ismétlődhetnek?
Ahogy az előző feladatban, a szám nem kezdődhet 0-val, azonban a számjegyek most korlátlanul ismétlődhetnek.
1. helyi érték: Csak 4 számjegy lehet (1, 2, 3, 4).
2. helyi érték: Mind az 5 számjegy lehetséges (a 0 is).
3. helyi érték: Mind az 5 számjegy lehetséges.
4. helyi érték: Mind az 5 számjegy lehetséges.
Összesen 500 darab ismétléses 4 jegyű szám készíthető ezekből a jegyekből.
17
A Morse-kód pontokból és vonalakból áll. Hány különböző kód jelezhető le legfeljebb 4 jel (pont vagy vonal) egymás utáni leadásával?
Minden pozíción 2 lehetőség van (pont vagy vonal). Mivel "legfeljebb 4" a kikötés, külön kell vizsgálni az 1, 2, 3 és 4 hosszú sorozatokat:
1 hosszú kódok száma: \( 2^1 = 2 \)
2 hosszú kódok száma: \( 2^2 = 4 \)
3 hosszú kódok száma: \( 2^3 = 8 \)
4 hosszú kódok száma: \( 2^4 = 16 \)
Ezek egymást kizáró esetek, így össze kell adnunk őket:
$$ 2 + 4 + 8 + 16 = 30 $$
Összesen 30 különböző kód adható le.
18
Egy osztályban 15 lány és 12 fiú tanul. Az osztály 3 tisztséget (elnök, titkár, pénztáros) oszt ki. Hányféleképpen alakulhat a kiosztás, ha tudjuk, hogy az elnök lány, a másik két tisztséget pedig fiúk töltik be? (Mindenki max. egy tisztséget kaphat.)
A pozíciókat bontsuk fel az azt betöltő személyek halmazára:
Elnök (lány): A 15 lány közül bármelyiket választhatjuk. Ez 15 lehetőség.
Titkár (fiú): A 12 fiú közül választunk. Ez 12 lehetőség.
Pénztáros (fiú): Mivel egy fiút már kiválasztottunk titkárnak, a maradék 11 fiú közül választunk. Ez 11 lehetőség.
A szorzási szabály értelmében a lehetőségeket összeszorozzuk:
$$ 15 \cdot 12 \cdot 11 = 1980 $$
Tehát 1980-féleképpen alakulhat a tisztségek elosztása.
19
Egy régi típusú magyar rendszámtábla 3 betűből és azt követő 3 számjegyből állt. Az angol ábécé 26 betűjét használhatták, és a számjegyek 0-tól 9-ig bármilyenek lehettek. Hány ilyen rendszám adható ki? (A betűk és a számok is ismétlődhetnek).
A feladatot két részre bonthatjuk: a betűk kombinációjára és a számok kombinációjára.
Összesen 17 576 000 ilyen rendszámtábla készíthető.
20
Egy moziteremben egy 8 személyes padsorba 5 diák ül be. Hányféleképpen helyezkedhetnek el a padsorban?
Itt az 5 diákot (akiket megkülönböztetünk) helyezzük el a 8 különböző székre. Ezt úgy is felfoghatjuk, mintha az első diák kiválasztana egy széket, majd a második, és így tovább.
1. diák: 8-féle helyre ülhet.
2. diák: 7-féle helyre ülhet.
3. diák: 6-féle helyre ülhet.
4. diák: 5-féle helyre ülhet.
5. diák: 4-féle helyre ülhet.