Kombinatorikus Geometria - Emelt Matek Érettségi

1

Hány egyenest határoz meg 3 pont a síkon, ha nincsenek egy egyenesen (általános helyzetűek)?

Egy egyenest pontosan 2 pont határoz meg egyértelműen. Mivel a 3 pont közül semelyik három nincs egy egyenesen, bármely 2 pontot kiválasztva egy-egy új egyenest kapunk.

A lehetőségek száma: $ \binom{3}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3 $.

Ez egybeesik egy háromszög oldalegyeneseinek számával.

2

Hány egyenest határoz meg 4 általános helyzetű (semelyik három nincs egy egyenesen) pont a síkon?

Bármely két pont egy egyenest határoz meg, és mivel általános helyzetűek, nincs olyan egyenes, amelyen 2-nél több pont lenne.

A 4 pontból 2-t kell kiválasztanunk, melynek módja a kombinációk alapján számolható:

$ \binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 $.

Geometriai jelentés: ez egy négyszög 4 oldalegyenesének és 2 átlóegyenesének összege.

3

Adott $ n $ pont a síkon, melyek közül semelyik három nem kollineáris (nincs egy egyenesen). Határozza meg, képlettel megadva, hány egyenest határoznak meg.

A korábbi feladatok logikáját általánosítjuk. Minden egyenest pontosan 2 pont határoz meg az $ n $ pont közül. Mivel semelyik 3 pont nincs egy egyenesen, nem számolunk kétszer (vagy többször) egyenest.

Tehát az $ n $ pontból kiválasztjuk az összes lehetséges 2 fős "csoportot". Ennek száma:

$$ \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} $$

4

Adott 5 pont a síkon. Pontosan 3 pont egy egyenesre esik, a többiek közül semelyik három nincs egy egyenesen (és a kollineáris hármason kívül lévő 2 pont és bármely kollineáris pont sem alkot 3-as egyenest). Hány egyenest határoznak meg összesen?

Először tekintsük az összes pontot úgy, mintha mind általános helyzetűek lennének. Ekkor $ \binom{5}{2} = 10 $ egyenest határoznának meg.

Azonban a 3 egy egyenesre eső (kollineáris) pont magában $ \binom{3}{2} = 3 $ egyenest adna, de a valóságban ezek a pontok csak 1 darab közös egyenest határoznak meg.

Így a 10 lehetséges egyenesből ki kell vonni a "felesleget" (ami 3), majd hozzá kell adni azt az 1 valós egyenest, amin a három pont ténylegesen rajta van.

Összes egyenes: $ \binom{5}{2} - \binom{3}{2} + 1 = 10 - 3 + 1 = 8 $.

5

Mennyi 3 egyenes metszéspontjainak maximális száma a síkon?

Két egyenes legfeljebb 1 pontban metszheti egymást. Ahhoz, hogy a metszéspontok száma maximális legyen, a következő "általános helyzeti" feltételeknek kell teljesülniük:

Egyetlen egyenespár sem lehet párhuzamos.
Semelyik 3 egyenes nem mehet át egy közös ponton.

Ebben az esetben bármely 2 egyenes pontosan 1 metszéspontot ad. Tehát a 3 egyenesből kiválasztott összes 2 fős pár adja a metszéspontokat:

$ \binom{3}{2} = 3 $.

6

Adott 4 általános helyzetű (semelyik kettő nem párhuzamos, és semelyik három nem fut át egy közös ponton) egyenes a síkon. Hány metszéspontjuk van?

Az általános helyzet garantálja, hogy minden egyenespárnak pontosan 1 metszéspontja van, és ezek a metszéspontok mind különbözőek.

Tehát csak az a kérdés, hányféleképpen választhatunk ki 2 egyenest a 4-ből.

$ \binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 $.

7

Adjon általános képletet: mennyi $ n $ darab általános helyzetű egyenes metszéspontjainak száma a síkon?

Az "általános helyzet" azt jelenti, hogy:

Nincs két párhuzamos egyenes.
Nincs három olyan egyenes, amely egy pontban metszé egymást.

Ennek következtében bármely két egyenes pontosan egy metszéspontot határoz meg, és ez minden párra különböző pont.

Az összes lehetséges egyenespárok száma adja a metszéspontokat:

$$ \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} $$

8

Hány átlója van egy konvex ötszögnek? Vezesse le az eredményt kombinatorikai megfontolásokkal.

Egy konvex ötszögnek 5 csúcsa van. Bármely két csúcsot összekötve vagy egy oldalt, vagy egy átlót kapunk.

Összesen $ \binom{5}{2} = 10 $ összekötő szakasz létezik a csúcsok között.

Ebből 5 darab az ötszög oldala, amiket nem nevezünk átlónak. Így az átlók száma:

$ \binom{5}{2} - 5 = 10 - 5 = 5 $.

A konvex ötszögnek tehát pontosan 5 átlója van (a jól ismert ötágú csillag).

9

Adja meg képlettel, hány átlója van egy konvex $ n $-szögnek. Kétféle logikai levezetést is alkalmazzon.

1. megoldás (Kombinációkkal):
Az $ n $ csúcs összesen $ \binom{n}{2} $ darab szakaszt határoz meg. Ebből le kell vonni az $ n $ darab külső oldalt. Így a képlet:
$ \binom{n}{2} - n = \frac{n(n-1)}{2} - \frac{2n}{2} = \frac{n^2-n-2n}{2} = \frac{n(n-3)}{2} $.

2. megoldás (Csúcsonként számolva):
A sokszög minden csúcsából $ n-3 $ átló húzható (önmagába és a két szomszédos csúcsba nem húzunk átlót). Mivel $ n $ csúcsunk van, ez $ n \cdot (n-3) $ átló lenne, de minden átlót a két végpontjánál fogva kétszer számoltunk, ezért osztani kell 2-vel:
$ \frac{n(n-3)}{2} $.

10

Hány háromszöget határoz meg 5 általános helyzetű pont a síkon?

Egy háromszög meghatározásához pontosan 3 pontra van szükség. Mivel az 5 pont általános helyzetű (semelyik három nincs egy egyenesen), ezért bármelyik 3 kiválasztott pont egy nem elfajult háromszöget hoz létre.

A lehetséges háromszögek száma megegyezik annak számával, ahányféleképpen 5-ből 3 pontot kiválaszthatunk:

$ \binom{5}{3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 $.

11

Adott $ n $ általános helyzetű pont a síkon. Hány háromszöget határoznak meg képlet szerint?

A 10. feladat általánosításáról van szó. Bármely 3 pont kijelöl egy háromszöget, és mivel nincs 3 egy egyenesre eső pont (kollineáris pontok), ezért minden kiválasztott pont-hármas valódi háromszöget alkot.

A háromszögek száma tehát megegyezik a 3 elemű kombinációk számával $ n $ elemből:

$$ \binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} $$

12

Egy síkban adott két párhuzamos egyenes ($ e $ és $ f $). Az $ e $ egyenesen felvettünk 4 pontot, az $ f $ egyenesen pedig 5 pontot. Hány különböző háromszöget határoznak meg ezek a pontok összesen?

Egy háromszöget akkor kapunk, ha a 3 csúcsát úgy választjuk ki, hogy azok nincsenek egy egyenesen. Két esetet kell megkülönböztetnünk:

1. eset: 2 pontot választunk az $ e $ egyenesről, 1 pontot az $ f $ egyenesről.
Az $ e $ egyenes 4 pontjából 2-t $ \binom{4}{2} = 6 $-féleképpen választhatunk. Az $ f $-ről 1-et 5-féleképpen. Ez $ 6 \cdot 5 = 30 $ háromszög.

2. eset: 1 pontot választunk az $ e $ egyenesről, 2 pontot az $ f $ egyenesről.
Az $ f $ egyenes 5 pontjából 2-t $ \binom{5}{2} = 10 $-féleképpen választhatunk. Az $ e $-ről 1-et 4-féleképpen. Ez $ 10 \cdot 4 = 40 $ háromszög.

Az összes háromszögek száma: $ 30 + 40 = 70 $.

13

Legfeljebb hány részre osztja a síkot 2 egyenes?

Egyetlen egyenes a síkot pontosan 2 félsíkra (részre) osztja.

Ha behúzunk egy második egyenest, az a legtöbb síkrészt akkor hozza létre, ha metszi az első egyenest (tehát nem párhuzamos vele). Ekkor a második egyenes áthalad mindkét korábbi síkrészen, és azokat kettévágja.

Így az eredeti 2 részből $ 2 + 2 = 4 $ síkrész lesz.

A 2 metsző egyenes által bezárt 4 szögtartomány egyben a 4 síkrész is.

14

Legfeljebb hány részre osztja a síkot 3 egyenes?

Tudjuk, hogy 2 egyenes maximálisan 4 részre osztja a síkot.

Amikor behúzzuk a 3. egyenest, az akkor vág ketté a legtöbb meglévő tartományt, ha az előző két egyenest 2 különböző pontban metszi (tehát nem megy át a metszéspontjukon, és egyikkel sem párhuzamos).

A 3. egyenest a rajta lévő 2 új metszéspont 3 szakaszra/félegyenesre bontja. Ezen 3 darab "vonalrész" mindegyike egy-egy korábbi síkrészt oszt pontosan két részre. Ezáltal a síkrészek száma 3-mal nő.

Összes tartomány: $ 4 + 3 = 7 $.

15

Legfeljebb hány részre osztja a síkot 4 egyenes?

Folytassuk az előző feladatok logikáját. 3 egyenes 7 részre osztja a síkot. A cél, hogy a 4. egyenes a lehető legtöbb új tartományt hozzon létre.

A 4. egyenest úgy kell megrajzolni, hogy metssze az eddigi 3 egyenest, méghozzá mindegyiket különböző pontban. Ekkor a 4. egyenesen 3 metszéspont keletkezik, amik 4 szakaszra (két félegyenesre és két szakaszra) bontják az egyenest magát.

Mind a 4 vonaldarab belemetsz egy-egy korábbi tartományba, ezzel kettéosztva azokat. Ez plusz 4 új síkrészt jelent.

Összes tartomány: $ 7 + 4 = 11 $.

16

Adja meg képlettel, hogy legfeljebb hány részre osztja a síkot $ n $ darab egyenes.

Figyeljük meg a növekedés szabályszerűségét a korábbi feladatokból (ahol $ R_n $ a részek maximális száma):

$ R_0 = 1 $
$ R_1 = 1 + 1 = 2 $
$ R_2 = 2 + 2 = 4 $
$ R_3 = 4 + 3 = 7 $
$ R_n = R_{n-1} + n $

Ez egy számtani sorozat összegére vezethető vissza. $ R_n $ felírható úgy, mint az első $ n $ pozitív egész szám összege, plusz az eredeti 1 egész sík:

$ R_n = 1 + (1 + 2 + 3 + ... + n) $

A képlet alkalmazásával: $$ R_n = 1 + \frac{n(n+1)}{2} $$

17

Hány metszéspontja lehet legfeljebb 2 darab körvonalnak a síkon?

Két különböző körvonal helyzete egymáshoz képest háromféle lehet metszéspontok szempontjából:

Nem metszik egymást (0 metszéspont - diszjunktak, vagy egyiken belül van a másik)
Érintik egymást kívülről vagy belülről (1 metszéspont)
Metszik egymást (2 metszéspont)

A maximális metszéspontok száma tehát 2.

18

Hány metszéspontja lehet legfeljebb 3 darab körvonalnak a síkon?

Ahhoz, hogy a metszéspontok száma a legnagyobb legyen, minden körnek a lehető legtöbb pontban kell metszenie az összes többit. Tudjuk, hogy bármely két kör legfeljebb 2 pontban metszi egymást.

A 3 körből összesen $ \binom{3}{2} = 3 $ körpárt tudunk kiválasztani.

Ha mind a 3 pár esetében kialakul a 2-2 metszéspont, és ezek a metszéspontok sehol sem esnek egybe, akkor a metszéspontok száma:

$ 3 \cdot 2 = 6 $.

Például egy szabályos háromszög csúcsai köré rajzolt megfelelő sugarú körök kiadják ezt a maximális 6 pontot.

19

Adja meg képlettel, hogy legfeljebb hány metszéspontja lehet $ n $ darab körvonalnak a síkon.

Az előző feladat gondolatmenetét általánosítjuk. Minden kör minden másik kört legfeljebb 2 pontban metszhet.

Az $ n $ darab körből összesen $ \binom{n}{2} $ darab párt tudunk alkotni.

Ha a metszéspontok száma maximális (általános helyzet, a 2-es metszések mind létrejönnek és nem esnek egybe más metszéspontokkal), akkor minden pár 2 pontot generál.

Összes metszéspont: $ 2 \cdot \binom{n}{2} = 2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1) $.

20

Egy síkon felvettünk $ n $ darab pontot. Tudjuk, hogy az általuk meghatározott egyenesek száma pontosan 45. Feltéve, hogy semelyik 3 pont nincs egy egyenesen, számítsa ki az $ n $ értékét.

Mivel a pontok általános helyzetűek (nincs 3 kollineáris), az általuk meghatározott egyenesek számát az $ \binom{n}{2} $ kifejezés adja meg.

A feladat szerint: $$ \binom{n}{2} = 45 $$

Alkalmazva a binomiális együttható képletét:

$$ \frac{n(n-1)}{2} = 45 $$

$$ n(n-1) = 90 $$

Ez egy másodfokú egyenlet: $ n^2 - n - 90 = 0 $.

Gyökei: $ n_1 = 10 $ és $ n_2 = -9 $. Mivel a pontok száma csak pozitív egész lehet, így a megoldás: $ n = 10 $.