Binomiális együtthatók

A binomiális együttható kiszámításának képlete: \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Helyettesítsük be az értékeket: \( \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} \).

Egyszerűsítve: \( \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2 \cdot 1 \cdot 3!} = \frac{20}{2} = 10 \).

Tehát \( \binom{5}{2} = 10 \).

A kombinatorikában és az algebrában is alapvető szabály, hogy bármely \( n \ge 0 \) egész szám esetén:

• \( \binom{n}{0} = 1 \) (Mert 8 elemből 0-t pontosan 1-féleképpen választhatunk ki: sehogy.)
• \( \binom{n}{n} = 1 \) (Mert 8 elemből mind a 8-at pontosan 1-féleképpen választhatjuk ki.)

Tehát mindkét kifejezés értéke 1.

A definíció alapján: \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Esetünkben \( n = 12 \) és \( k = 5 \).

Így a kifejezés: \( \frac{12!}{5!(12-5)!} = \mathbf{\frac{12!}{5! \cdot 7!}} \).

A binomiális együtthatók szimmetrikusak, azaz érvényes rájuk a következő azonosság: \( \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \).

Ennek értelmében: \( \binom{6}{4} = \binom{6}{6-4} = \binom{6}{2} \).

A \( \binom{6}{2} \) kiszámolása általában fejben is könnyebb: \( \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \).

A végeredmény tehát 15.

Az állítás igaz.

Ez a binomiális együtthatók szimmetria-tulajdonsága miatt van így: \( \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \).

Kombinatorikai jelentése is intuitív: kiválasztani 15 emberből azt a 12-t, akiket elviszünk egy útra, pontosan ugyanannyiféleképpen lehetséges, mint kiválasztani azt a 3-at, akiket otthon hagyunk.

Tudjuk, hogy két binomiális együttható akkor és csak akkor egyenlő (ha a felső szám azonos és nem egyeznek meg triviálisan, azaz \( k_1 \neq k_2 \)), ha az alsó számok összege kiadja a felsőt.

Képlettel felírva: \( \binom{n}{k_1} = \binom{n}{k_2} \iff k_1 = k_2 \) VAGY \( k_1 + k_2 = n \).

Mivel a feladat megkötötte, hogy \( x \neq 2 \), ezért csak az \( x + 2 = 9 \) eset állhat fenn.

Ebből következik, hogy \( x = 7 \).

A Pascal-háromszög képzési szabálya (vagyis a binomiális együtthatók addíciós tétele) alapján:

\( \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} = \binom{n+1}{k} \)

A mi esetünkben \( n = 7 \) és az alsó indexek egymást követő számok (3 és 4), így \( k = 4 \).

A szabályt alkalmazva kapjuk: \( \binom{7}{3} + \binom{7}{4} = \mathbf{\binom{8}{4}} \).

A Pascal-háromszög n-edik sorában lévő számok összege mindig \( 2^n \).

Ezt a Binomiális-tétellel is könnyen beláthatjuk, ha az \( (a+b)^n \) kifejezésbe az \( a=1, b=1 \) értékeket helyettesítjük: \( (1+1)^n = 2^n \).

Itt \( n = 5 \), tehát az összeg: \( 2^5 = \mathbf{32} \).

A \( \binom{n}{1} \) jelentése: hányféleképpen választhatunk ki \( n \) darab különböző elemből pontosan 1-et?

Nyilvánvalóan minden egyes elemet választhatjuk, ami összesen \( \mathbf{n} \) lehetőség.

Képlettel: \( \frac{n!}{1!(n-1)!} = \frac{n \cdot (n-1)!}{1 \cdot (n-1)!} = n \).

Bontsuk fel a binomiális együtthatót képlet alapján: \( \frac{n(n-1)}{2} = 15 \).

Szorozzunk be 2-vel: \( n(n-1) = 30 \).

Bontsuk fel a zárójelet: \( n^2 - n - 30 = 0 \).

Megoldóképlettel vagy szorzattá alakítással \( (n-6)(n+5)=0 \) kapjuk a gyököket: \( n_1 = 6 \) és \( n_2 = -5 \).

Mivel a feladat a természetes számok halmazán kérte a megoldást (és negatív számból nem lehet kiválasztani), a megoldás n = 6.

Első lépésként alkalmazzuk a szimmetria-tulajdonságot: \( \binom{x}{x-2} = \binom{x}{x - (x-2)} = \binom{x}{2} \).

Az egyenletünk így alakul: \( \binom{x}{2} = 21 \).

Kifejtve: \( \frac{x(x-1)}{2} = 21 \Rightarrow x(x-1) = 42 \).

Mivel 42 egyenlő \( 7 \cdot 6 \), és a binomiális együtthatónál \( x \ge 2 \) pozitív egész kell legyen, kapjuk hogy \( x = 7 \).

A szimmetria alapján: \( \binom{n}{n-1} = \binom{n}{n - (n-1)} = \binom{n}{1} \).

A korábbiakban már láttuk, hogy \( \binom{n}{1} \) értéke pontosan \( n \).

A megoldás tehát n.

Ezt kiszámolhatjuk a binomiális együtthatók konkrét értékének behelyettesítésével: \( 1 - 4 + 6 - 4 + 1 = 0 \).

Általánosabban: a Binomiális-tétel alapján \( (1 - 1)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 1^{n-k} (-1)^k \).

Mivel \( (1-1)^4 = 0^4 = 0 \), a Pascal-háromszög bármely (n>0) sorának váltakozó előjelű összege mindig 0 lesz.

Ismét a szimmetria elvét, azaz a \( \binom{n}{k_1} = \binom{n}{k_2} \iff k_1+k_2=n \) (feltéve hogy \(k_1 \neq k_2\)) összefüggést használjuk.

Mivel az 5 és a 6 láthatóan nem egyenlő, ezért a második esetnek kell fennállnia:

\( 5 + 6 = n \).

Tehát \( n = 11 \).

A kifejezés első két tagjára alkalmazhatjuk a Pascal-háromszög addíciós tételét: \( \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} = \binom{n+1}{k} \).

Ezek alapján: \( \binom{10}{4} + \binom{10}{5} = \binom{11}{5} \).

Ezt helyettesítsük vissza az eredeti összegbe: \( \binom{11}{5} + \binom{11}{6} \).

Erre a két tagra ismét alkalmazható a szabály: \( \binom{11}{5} + \binom{11}{6} = \mathbf{\binom{12}{6}} \).

A definíció alapján írjuk fel az egyenlet bal oldalát:

\( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

Most írjuk fel a jobb oldalt. Itt a 'k' szerepét az '(n-k)' veszi át:

\( \binom{n}{n-k} = \frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!} \)

Végezzük el a zárójelen belüli kivonást a nevező második tényezőjében: \( n - (n-k) = n - n + k = k \).

Így a kifejezés a következővé válik: \( \frac{n!}{(n-k)!k!} \).

A nevezőben a szorzótényezők felcserélhetők (kommutativitás), így a kifejezés \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \) lesz, ami pontosan megegyezik a bal oldallal. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

1. megoldás (Addíciós tétellel):

Tudjuk, hogy \( \binom{n}{1} + \binom{n}{2} = \binom{n+1}{2} \). Rendezve ezt: \( \binom{n+1}{2} - \binom{n}{2} = \binom{n}{1} \).

Vagyis a kifejezés bal oldala \( \binom{n}{1} \), amiről tudjuk, hogy értéke \( n \).

Tehát n = 8.

Írjuk fel a számlálót és a nevezőt is: \( \binom{8}{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 \).

\( \binom{7}{2} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \).

A tört: \( \frac{56}{21} \). Mindkét szám osztható 7-tel, így az egyszerűsített alak: \( \frac{8}{3} \).

Megjegyzés: Erre létezik egy általános képlet is (az ún. abszorpciós azonosság): \( \binom{n}{k} = \frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1} \). Esetünkben: \( \binom{8}{3} = \frac{8}{3} \binom{7}{2} \), amiből átrendezéssel azonnal adódik a megoldás.

Nagy számok esetén érdemes rögtön szimmetriára gyanakodni, mert ezek kiszámolása direkt módon nehézkes lenne.

\( \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \) alapján \( \binom{100}{99} = \binom{100}{100-99} = \binom{100}{1} \).

Ahogy azt már megállapítottuk, \( \binom{n}{1} = n \), így \( \binom{100}{1} = \mathbf{100} \).

Mivel a bizottság tagjainak sorrendje nem számít (nincs dedikált elnök, titkár stb.), ez egy ismétlés nélküli kombináció.

Ilyenkor 8 elemből választunk ki 3-at, aminek jele pontosan a binomiális együttható: \( \binom{8}{3} \).

Kiszámítása: \( \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \).

A nevezőben a \( 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \) kiesik a számláló 6-osával, így \( 8 \cdot 7 = \mathbf{56} \)-féleképpen alakulhat a bizottság.