Valós kitevők és nagyságrendek

A hatványozás azonosságai valós kitevők esetén is érvényesek. Azonos alapú hatványok osztásánál a kitevőket kivonjuk egymásból: \[ \frac{a^{\sqrt{3}+1}}{a^{\sqrt{3}-1}} = a^{(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-1)} = a^{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1} = a^2 \]

Mivel \(\sqrt{5} \approx 2.236\), egyértelmű, hogy \(\sqrt{5} > 2.23\). Mivel az \(x \mapsto 2^x\) függvény alapja nagyobb \(1\)-nél, a függvény szigorúan monoton nő. Nagyobb kitevőhöz nagyobb függvényérték tartozik, így \(2^{\sqrt{5}} > 2^{2.23}\).

A kitevőkre igaz, hogy \(\sqrt{2} < \sqrt{3}\). Ugyanakkor az \(x \mapsto 0.5^x\) függvény alapja \(0\) és \(1\) közé esik, ami miatt a függvény szigorúan monoton csökkenő. Ennek értelmében a kisebb kitevőhöz nagyobb függvényérték tartozik, azaz \(0.5^{\sqrt{2}} > 0.5^{\sqrt{3}}\).

Hatvány hatványozására vonatkozó azonosság szerint a kitevők összeszorozhatók: \[ (\sqrt{3}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = \sqrt{3}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{3}^2 = 3 \]

A törtkitevő értelmezése alapján az alak átírható gyökös formába: \[ 125^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{125})^2 \] Mivel \(5^3 = 125\), a köbgyök értéke \(5\). \[ 5^2 = 25 \]

Először írjuk át a belső gyököt hatvány alakba, majd végezzük el a szorzást: \[ \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \] \[ x^2 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{2 + \frac{1}{2}} = x^{\frac{5}{2}} \] Végül alkalmazzuk a harmadik gyököt, ami az \(1/3\)-ik hatványra emelést jelenti: \[ \sqrt[3]{x^{\frac{5}{2}}} = (x^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{5}{6}} \]

Hozzuk a két kifejezést azonos kitevőjű alakra a hatványozás azonosságainak segítségével: \[ 3^{40} = (3^4)^{10} = 81^{10} \] \[ 4^{30} = (4^3)^{10} = 64^{10} \] Mivel \(81 > 64\), és az \(x \mapsto x^{10}\) függvény a pozitív valós számokon szigorúan monoton nő, ezért \(81^{10} > 64^{10}\). Ebből következik, hogy \(3^{40} > 4^{30}\).

Először írjuk át a tizedestörtet normálalakba. A tizedesvesszőt \(12\) helyiértékkel kell jobbra tolnunk, így: \[ 0.0000000000045 = 4.5 \cdot 10^{-12} \] Most végezzük el a szorzást az azonos alapú hatványok szabályai szerint: \[ 4.5 \cdot 10^{-12} \cdot 10^{23} = 4.5 \cdot 10^{23 - 12} = 4.5 \cdot 10^{11} \]

Alkalmazzuk a hatvány hatványozására vonatkozó azonosságot: \[ (x^{\sqrt{2}})^{\sqrt{8}} = x^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}} \] A gyökök szorzatát írhatjuk közös gyökjel alá: \[ \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4 \] A kifejezés egyszerűsített alakja tehát \(x^4\).

A racionális kitevőjű hatványozás folytonos módon terjeszthető ki az irracionális kitevőkre. Ehhez tekintünk egy olyan \((q_n)\) racionális számokból álló sorozatot, amely tart a \(\pi\)-hez (például a tizedestört alakjának csonkításait: \(3\); \(3.1\); \(3.14\); \(3.141\); ...).

A \(2^{\pi}\) értéke pontosan az a valós szám, amelyhez a \(2^{q_n}\) sorozat tart. (Az exponenciális függvény folytonossága biztosítja, hogy ez a határérték létezik és független a közelítő sorozat választásától.)

A kifejezés átalakítható a hatványozás azonosságainak segítségével úgy, hogy \(10\)-es alapú hatványokat hozzunk létre: \[ 5^{2024} \cdot 2^{2026} = 5^{2024} \cdot 2^{2024} \cdot 2^2 \] \[ = (5 \cdot 2)^{2024} \cdot 4 = 4 \cdot 10^{2024} \] Ez egy olyan szám, amely egy \(4\)-es számjeggyel kezdődik, melyet pontosan \(2024\) darab nulla követ. A számjegyek teljes száma tehát \(2024 + 1 = 2025\).

Vegyük észre a két alap közötti algebrai kapcsolatot. Szorozzuk össze őket: \[ (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1 \] Ebből következik, hogy az egyik szám a másiknak a reciproka, vagyis: \[ \sqrt{2}-1 = (\sqrt{2}+1)^{-1} \] Helyettesítsük ezt vissza az eredeti egyenletbe: \[ ((\sqrt{2}+1)^{-1})^x = (\sqrt{2}+1)^1 \] \[ (\sqrt{2}+1)^{-x} = (\sqrt{2}+1)^1 \] Mivel az exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű (injektív), a kitevőknek egyenlőknek kell lenniük: \[ -x = 1 \Rightarrow x = -1 \]

Írjuk át a kifejezéseket törtkitevős hatvány alakba, majd hozzuk őket közös nevezőre a kitevőben: \[ \sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{4}{12}} = \sqrt[12]{3^4} = \sqrt[12]{81} \] \[ \sqrt[4]{4} = 4^{\frac{1}{4}} = 4^{\frac{3}{12}} = \sqrt[12]{4^3} = \sqrt[12]{64} \] Mivel \(81 > 64\), és az \(x \mapsto \sqrt[12]{x}\) függvény szigorúan monoton nő, így \(\sqrt[12]{81} > \sqrt[12]{64}\). Ez azt jelenti, hogy \(\sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{4}\).

Vegyük mindkét oldal \(10\)-es alapú logaritmusát (a logaritmusfüggvény szigorúan monoton nő): \[ \lg(2^n) > \lg(10^9) \] A logaritmus azonosságait használva: \[ n \cdot \lg 2 > 9 \] \[ n \cdot 0.3010 > 9 \] \[ n > \frac{9}{0.3010} \approx 29.9 \] Mivel \(n\) természetes szám, a legkisebb megfelelő érték az \(n = 30\). (Valóban, informatikából ismert a \(2^{10} \approx 10^3\) közelítés, amelyből \((2^{10})^3 \approx (10^3)^3 = 10^9\)).

Alakítsuk át a második kifejezést úgy, hogy az alap \(10\) legyen: \[ 100^{10^9} = (10^2)^{10^9} = 10^{2 \cdot 10^9} \] Most hasonlítsuk össze a két azonos alapú hatvány (\(10^{10^{10}}\) és \(10^{2 \cdot 10^9}\)) kitevőit.

Az első kitevő \(10^{10}\), ami \(10 \cdot 10^9\). A második kitevő \(2 \cdot 10^9\). Nyilvánvaló, hogy \(10 \cdot 10^9 > 2 \cdot 10^9\), így a kitevő az első kifejezésnél nagyobb. Mivel az \(x \mapsto 10^x\) függvény szigorúan monoton nő, így \(10^{10^{10}} > 100^{10^9}\).

Vegyük észre, hogy \(4^x = (2^2)^x = (2^x)^2\). Vezessünk be új ismeretlent: legyen \(y = 2^x\). Mivel az exponenciális függvény értéke mindig pozitív, \(y > 0\). Az egyenlet másodfokú alakot ölt: \[ y^2 - 3y + 2 = 0 \] Ennek a gyökei a megoldóképlet vagy a Viète-formulák alapján: \(y_1 = 1\) és \(y_2 = 2\). Mindkettő pozitív.

Térjünk vissza az eredeti változóra:
1) Ha \(2^x = 1\), akkor \(x = 0\).
2) Ha \(2^x = 2\), akkor \(x = 1\).
A megoldások tehát: \(x \in \{0, 1\}\).

Bármely pozitív valós \(N\) szám számjegyeinek számát a tízes számrendszerben a \(\lfloor \lg N \rfloor + 1\) képlet adja meg. Számoljuk ki a \(2^{200}\) logaritmusát: \[ \lg(2^{200}) = 200 \cdot \lg 2 \approx 200 \cdot 0.30103 = 60.206 \] A tizes alapú logaritmus egész része a szám nagyságrendjét mutatja. Mivel az érték \(60\) és \(61\) közé esik, a szám normálalakja \(x \cdot 10^{60}\) alakú (ahol \(1 \le x < 10\)). Ebből egyenesen következik, hogy a szám \(61\) számjegyből áll.

A nullák számát az adja meg, hogy a szorzat prímfelbontásában hányszor szerepel a \(10\), mint tényező. Mivel \(10 = 2 \cdot 5\), a \(2\)-es és \(5\)-ös prímtényezők számát kell vizsgálnunk. Egy faktoriálisban mindig jóval több a \(2\)-es tényező, mint az \(5\)-ös, így elegendő az \(5\)-ös tényezők számát meghatározni.

Legendre-formuláját használva az \(5\)-ös kitevője a \(100!\) felbontásában: \[ \left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{100}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{100}{125} \right\rfloor + \dots = 20 + 4 + 0 = 24 \] A \(100!\) tehát \(24\) nullára végződik.

Igen, létezik. Tekintsük az \(a = \sqrt{2}\) és \(b = \sqrt{2}\) irracionális számokat. Képezzük az \(a^b = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) számot. Ennek a számnak a racionalitását nem tudjuk rögtön eldönteni, de két eset lehetséges:

1) Ha \(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) racionális, akkor az állítás igaz (találtunk két ilyen irracionális számot).
2) Ha \(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) irracionális, akkor tekintsük ezt a számot alapnak, a kitevő pedig legyen ismét az irracionális \(\sqrt{2}\). Ekkor: \[ (\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2 \] A végeredmény (\(2\)) racionális, tehát ez az eset is bizonyítja az állítást anélkül, hogy tudnunk kellene a \(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) pontos algebrai státuszát. (A valóságban ez a szám transzcendens a Gelfond–Schneider-tétel értelmében).

Az egyenlet \(a^b = 1\) alakú. Ez az alábbi három esetben teljesülhet a valós számok halmazán:

1) Az alap értéke 1: \(x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3\). A kitevő ilyenkor valós (\(3^2-4=5\)), \(1^5 = 1\). Ez jó megoldás.

2) Az alap értéke -1, a kitevő pedig páros egész: \(x - 2 = -1 \Rightarrow x = 1\). Ellenőrizzük a kitevőt: \(1^2 - 4 = -3\). Mivel a \(-3\) nem páros egész, a \((-1)^{-3} = -1 \neq 1\). Így ez nem megoldás.

3) A kitevő 0, és az alap nem 0: \(x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = 2\) vagy \(x = -2\).
- Ha \(x = 2\), akkor az alap \(2 - 2 = 0\). A \(0^0\) kifejezés nincs értelmezve, ez hamis gyök.
- Ha \(x = -2\), az alap \(-2 - 2 = -4\). A kifejezés \((-4)^0 = 1\). Ez megfelel.

Az egyenlet valós megoldásai tehát: \(x \in \{-2, 3\}\).