Racionális kitevők, az $a^{\frac{p}{q}}$ alak értelmezése és a szükséges alapfeltételek tisztázása elengedhetetlen az algebrai eszköztárunk fejlesztéséhez. Ebben a modulban a gyökös kifejezések hatványalakká alakítását, a törtkitevős azonosságok magabiztos alkalmazását és az ehhez kapcsolódó egyenletek megoldási stratégiáit vizsgáljuk. A magabiztos átalakítási készség biztosítja az alapot a későbbi differenciál- és integrálszámításhoz, valamint az emelt szintű feladatok hatékony megoldásához.
1
Számítsa ki a $27^{\frac{2}{3}}$ kifejezés pontos értékét.
A törtkitevőjű hatványozás definíciója alapján $a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p} = (\sqrt[q]{a})^p$. Ezt alkalmazva:
$$27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9.$$
2
Határozza meg a $16^{-\frac{3}{4}}$ kifejezés értékét.
A negatív kitevő a reciprok értéket jelöli.
$$16^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{16^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{(\sqrt[4]{16})^3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}.$$
3
Írja fel a $\sqrt[5]{x^3}$ kifejezést törtkitevős hatvány alakban, ahol $x > 0$.
A definíció alapján a gyökkitevő a tört nevezője, a belső hatványkitevő pedig a számlálója lesz.
$$\sqrt[5]{x^3} = x^{\frac{3}{5}}.$$
4
Hozza egyszerűbb alakra az $a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}}$ kifejezést, ha $a > 0$.
Azonos alapú hatványok szorzásánál a kitevőket összeadjuk.
$$a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{6} + \frac{3}{6}} = a^{\frac{5}{6}}.$$
5
Milyen valós $x$ értékekre értelmezhető az $(x-2)^{\frac{3}{4}}$ kifejezés a valós számok halmazán?
Bár a kifejezés felírható $\sqrt[4]{(x-2)^3}$ alakban, a törtkitevős hatványozást a valós számok halmazán általánosan csak nemnegatív alapokra értelmezzük (pozitív törtkitevő esetén a 0 is megengedett).
Ezért az alapnak nemnegatívnak kell lennie: $x - 2 \ge 0$, amiből következik, hogy $x \ge 2$.
6
Egyszerűsítse a $\left(b^{\frac{4}{5}}\right)^{\frac{15}{8}}$ kifejezést, ahol $b > 0$.
Hatvány hatványozásakor a kitevőket összeszorozzuk.
$$\left(b^{\frac{4}{5}}\right)^{\frac{15}{8}} = b^{\frac{4}{5} \cdot \frac{15}{8}} = b^{\frac{60}{40}} = b^{\frac{3}{2}}.$$
Ez felírható $\sqrt{b^3}$ vagy $b\sqrt{b}$ alakban is.
7
Végezze el az osztást és adja meg az eredményt egyetlen hatványként a következőt: $\frac{y^{\frac{5}{6}}}{y^{\frac{1}{4}}}$, ahol $y > 0$.
Azonos alapú hatványok osztásánál a számláló kitevőjéből kivonjuk a nevező kitevőjét.
$$y^{\frac{5}{6} - \frac{1}{4}} = y^{\frac{10}{12} - \frac{3}{12}} = y^{\frac{7}{12}}.$$
8
Számítsa ki a $\left(\frac{8}{27}\right)^{-\frac{2}{3}}$ kifejezés értékét.
Először a negatív kitevő miatt vegyük a tört reciprokát, majd alkalmazzuk a törtkitevő definícióját.
$$\left(\frac{8}{27}\right)^{-\frac{2}{3}} = \left(\frac{27}{8}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{\frac{27}{8}}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}.$$
9
Fejezze ki az $x \cdot \sqrt[3]{x^2}$ szorzatot $x$ racionális kitevőjű hatványaként, ha $x > 0$.
A gyökös kifejezést írjuk át törtkitevőre, majd használjuk a hatványozás azonosságait.
$$x^1 \cdot x^{\frac{2}{3}} = x^{1 + \frac{2}{3}} = x^{\frac{5}{3}}.$$
10
Írja fel törtkitevős hatványként a $\sqrt{\sqrt[3]{a}}$ kifejezést, ahol $a > 0$.
A belső gyököt alakítsuk hatvánnyá, majd a külső négyzetgyököt is (aminek a kitevője $\frac{1}{2}$).
$$\sqrt{a^{\frac{1}{3}}} = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{6}}.$$
11
Hozza a legegyszerűbb alakra a $\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x}}{\sqrt[4]{x}}$ kifejezést, ha $x > 0$.
Először minden gyökös kifejezést írjunk át törtkitevőre, majd vonjuk össze a hatványokat az azonosságok segítségével.
$$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{4}}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4}}$$
Hozzuk közös nevezőre (12) a kitevőket:
$$x^{\frac{6}{12} + \frac{4}{12} - \frac{3}{12}} = x^{\frac{7}{12}}.$$
12
Oldja meg az $x^{\frac{3}{2}} = 8$ egyenletet a valós számok halmazán.
A megoldáshoz emeljük az egyenlet mindkét oldalát a $\frac{2}{3}$ hatványra. Mivel a kiindulási egyenletben az alap $x > 0$ feltétel eleve teljesül, az ekvivalens átalakítás elvégezhető.
$$\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}}$$
$$x = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4.$$
13
Határozza meg azt az $x$ valós számot, amelyre $x^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{16}$.
A negatív kitevő eltüntetéséhez vegyük mindkét oldal reciprokát (vagy emeljük a $-1$. hatványra).
$$x^{\frac{4}{3}} = 16$$
Ezután emeljük mindkét oldalt a $\frac{3}{4}$ hatványra. Az eredeti kifejezés miatt $x>0$.
$$x = 16^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8.$$
14
Végezze el a beszorzást és egyszerűsítse a $(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})$ kifejezést, ahol $p, q \ge 0$.
Felismerhetjük az $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ nevezetes azonosságot, ahol $a = p^{\frac{1}{2}}$ és $b = q^{\frac{1}{2}}$.
$$(p^{\frac{1}{2}})^2 - (q^{\frac{1}{2}})^2 = p^{1} - q^{1} = p - q.$$
15
Alakítsa szorzattá az $x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{1}{3}}$ kifejezést $x^{\frac{1}{3}}$ kiemelésével.
Kiemeléskor a tagokat elosztjuk a kiemelt kifejezéssel, ami a hatványkitevők kivonását jelenti.
$$x^{\frac{1}{3}} \cdot \left( x^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} - 1 \right) = x^{\frac{1}{3}} \cdot (x^{\frac{3}{3}} - 1) = x^{\frac{1}{3}}(x - 1).$$
16
Számítsa ki a $0,0016^{-\frac{3}{4}}$ kifejezés pontos értékét.
Érdemes a tizedestörtet közönséges törtté, majd hatvánnyá alakítani:
$$0,0016 = \frac{16}{10000} = \left(\frac{2}{10}\right)^4 = \left(\frac{1}{5}\right)^4$$
Helyettesítsük be a kifejezésbe:
$$\left(\left(\frac{1}{5}\right)^4\right)^{-\frac{3}{4}} = \left(\frac{1}{5}\right)^{4 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-3}$$
A negatív kitevő a reciprokra utal, így: $5^3 = 125$.
17
Hozza egyszerűbb alakra az $\left( \frac{a^{-\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{2}} b^{-\frac{2}{3}}} \right)^{-3}$ kifejezést, ahol $a, b > 0$.
Először a zárójelen belüli osztásokat végezzük el (a kitevők kivonásával):
$$a^{-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = a^{-1}$$
$$b^{\frac{1}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right)} = b^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} = b^1$$
A kifejezés így $(a^{-1} b^1)^{-3}$ alakra egyszerűsödik. Hatvány hatványozása alapján:
$$a^{(-1) \cdot (-3)} \cdot b^{1 \cdot (-3)} = a^3 b^{-3} = \frac{a^3}{b^3}.$$
18
Bővítéssel tüntesse el a törtkitevőt az $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}} + 1}$ kifejezés nevezőjéből, ahol $x > 0$.
A nevező racionalizálásához az $u^3 + v^3 = (u+v)(u^2 - uv + v^2)$ azonosságot használjuk.
Legyen $u = x^{\frac{1}{3}}$ és $v = 1$. Ekkor a szükséges bővítő tényező:
$$u^2 - uv + v^2 = x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} + 1$$
A számlálót és nevezőt is megszorozva ezzel:
$$\frac{x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} + 1}{(x^{\frac{1}{3}} + 1)(x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} + 1)} = \frac{x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} + 1}{(x^{\frac{1}{3}})^3 + 1^3} = \frac{x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} + 1}{x + 1}.$$
19
Döntse el, melyik szám nagyobb: $2^{\frac{1}{2}}$ vagy $3^{\frac{1}{3}}$.
Az összehasonlításhoz hozzuk a számokat közös törtkitevőre. A nevezők (2 és 3) legkisebb közös többszöröse 6.
$$2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{6}} = (2^3)^{\frac{1}{6}} = 8^{\frac{1}{6}}$$
$$3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{2}{6}} = (3^2)^{\frac{1}{6}} = 9^{\frac{1}{6}}$$
Mivel a $\frac{1}{6}$ hatványfüggvény (hatodik gyök) szigorúan monoton növekvő a pozitív számok halmazán, és $9 > 8$, ezért:
$$3^{\frac{1}{3}} > 2^{\frac{1}{2}}.$$
20
Igazolja, hogy az $\left( \frac{a+b}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} \right) : (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})^2 = 1$ egyenlőség minden $a \neq b$ és $a,b > 0$ esetén fennáll.
A könnyebb áttekinthetőség érdekében vezessünk be új változókat: $x = a^{\frac{1}{3}}$ és $y = b^{\frac{1}{3}}$. Ebből következik, hogy $a = x^3$ és $b = y^3$. Helyettesítsük be ezeket a kifejezésbe:
$$\left( \frac{x^3 + y^3}{x + y} - xy \right) : (x-y)^2$$
A számlálóban lévő összeg az $x^3+y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$ azonosság alapján szorzattá alakítható. Osztva az $(x+y)$-nal a nagy zárójelen belüli első tag:
$$x^2 - xy + y^2$$
Ebből kivonva az $xy$-t kapjuk:
$$x^2 - xy + y^2 - xy = x^2 - 2xy + y^2$$
Észrevehetjük, hogy ez pontosan $(x-y)^2$. A kifejezés tehát az alábbira redukálódik:
$$(x-y)^2 : (x-y)^2 = 1$$
Az állítást ezzel igazoltuk.