A kifejezések egyszerűsítése az emelt szintű algebrai feladatok megoldásának alapköve. Ebben a modulban az összetett, tört- és negatív kitevőt, valamint egymásba ágyazott gyököket tartalmazó algebrai törtek redukcióját és szorzattá alakítását gyakoroljuk. A biztos algebrai átalakítások (nevezetes azonosságok, gyöktelenítés, kiemelés) nemcsak a kifejezések formális kezeléséhez, hanem az egyenletek, egyenlőtlenségek és függvényvizsgálati feladatok sikeres megoldásához is elengedhetetlenek az emelt szintű matematika érettségin.
1
Hozza egyszerűbb alakra a $(2a-b)^2 - (a+2b)(a-2b)$ kifejezést.
Bontsuk fel a zárójeleket a nevezetes azonosságok alkalmazásával.
A $(2a-b)^2$ kifejezés kifejtve: $4a^2 - 4ab + b^2$.
Az $(a+2b)(a-2b)$ kifejezés a különbség és összeg szorzata, tehát: $a^2 - 4b^2$.
Alakítsa szorzattá az $x^2 - 7x + 12$ másodfokú kifejezést.
Keresünk két olyan számot, amelyek szorzata $12$, az összegük pedig $-7$. Ezek a számok a $-3$ és a $-4$.
Ezt felhasználva a kifejezés szorzatalakja: $(x-3)(x-4)$.
Alternatív módszerként a másodfokú egyenlet megoldóképletével megkereshetjük a gyököket ($x_1=3, x_2=4$), és felírhatjuk a gyöktényezős alakot: $a(x-x_1)(x-x_2) = (x-3)(x-4)$.
3
Végezze el az egyszerűsítést a $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9}$ kifejezésen, ahol $x \neq 3$.
Alakítsuk szorzattá a számlálót és a nevezőt is.
A számláló egy négyzetkülönbség: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.
A nevező egy teljes négyzet: $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.
A tört: $\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^2}$.
Mivel $x \neq 3$, egyszerűsíthetünk $(x-3)$-mal. A végeredmény: $\frac{x+3}{x-3}$.
4
Hozza egyszerűbb alakra a $\frac{2x^2 + 4x}{x^3 - 4x}$ algebrai törtet ($x \neq 0, x \neq \pm 2$).
Emeljük ki a közös tényezőket a számlálóban és a nevezőben.
A kifejezés felírva: $\frac{2x(x + 2)}{x(x - 2)(x + 2)}$.
Egyszerűsítünk $x$-szel és $(x+2)$-vel (mivel egyik sem nulla a feltételek miatt). A végeredmény: $\frac{2}{x - 2}$.
5
Végezze el a kivonást és hozza a legegyszerűbb alakra a $\frac{1}{a-b} - \frac{1}{a+b}$ kifejezést.
A közös nevező a két nevező szorzata: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Bővítjük a törteket:
Az első törtet $(a+b)$-vel: $\frac{a+b}{(a-b)(a+b)}$.
A második törtet $(a-b)$-vel: $\frac{a-b}{(a-b)(a+b)}$.
A kivonás elvégzése: $\frac{a+b - (a-b)}{a^2 - b^2} = \frac{a+b - a + b}{a^2 - b^2} = \frac{2b}{a^2 - b^2}$.
6
Egyszerűsítse a $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{x^2 - y^2}{xy}}$ emeletes törtet.
Először hozzuk közös nevezőre a számlálót:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y + x}{xy}$.
Az emeletes tört így felírható két tört hányadosaként: $\frac{\frac{x+y}{xy}}{\frac{x^2 - y^2}{xy}}$.
Törttel úgy osztunk, hogy a reciprokával szorzunk:
$\frac{x+y}{xy} \cdot \frac{xy}{x^2 - y^2}$.
Egyszerűsítünk az $xy$-nal: $\frac{x+y}{x^2 - y^2}$.
A nevezőt szorzattá alakítva $(x-y)(x+y)$, majd $(x+y)$-nal egyszerűsítve a végeredmény: $\frac{1}{x-y}$.
7
Hozza egyszerűbb alakra a $\left( \frac{a^{-2} b^3}{a^3 b^{-1}} \right)^{-2}$ kifejezést, ha $a, b \neq 0$. Eredményét pozitív kitevőjű hatványok segítségével adja meg.
A hatványozás azonosságait alkalmazzuk. Először a zárójelen belüli törtet egyszerűsítjük azonos alapú hatványok osztási szabályával (a kitevőket kivonjuk):
A kifejezés a zárójelen belül: $a^{-5} b^4$. Ezt hatványozzuk a $-2$-dikre:
$\left(a^{-5} b^4\right)^{-2} = a^{-5 \cdot (-2)} \cdot b^{4 \cdot (-2)} = a^{10} b^{-8}$.
Pozitív kitevőkkel felírva az eredmény: $\frac{a^{10}}{b^8}$.
8
Írja fel egyetlen hatványként a $c^{\frac{1}{2}} \cdot c^{\frac{1}{3}} : c^{\frac{1}{6}}$ kifejezést, ahol $c > 0$.
Azonos alapú hatványok szorzásakor a kitevőket összeadjuk, osztásakor kivonjuk őket egymásból.
Kitevők kiszámítása: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6}$.
Közös nevező a $6$: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
A kifejezés egyetlen hatványként felírva: $c^{\frac{2}{3}}$, ami egyébként gyökös alakban $\sqrt[3]{c^2}$ formában is megadható.
9
Egyszerűsítse a $\sqrt{x \sqrt[3]{x}}$ kifejezést ($x > 0$), és írja fel törtkitevős hatványként.
Kezdjük a legbelső gyökkel. A $\sqrt[3]{x}$ felírható hatványként: $x^{\frac{1}{3}}$.
A külső gyök alatti kifejezés: $x \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^1 \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{1 + \frac{1}{3}} = x^{\frac{4}{3}}$.
A kifejezés most: $\sqrt{x^{\frac{4}{3}}}$.
A négyzetgyök $\frac{1}{2}$-es kitevőt jelent, így: $(x^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}} = x^{\frac{4}{6}}$.
A törtet egyszerűsítve az eredmény: $x^{\frac{2}{3}}$.
10
Gyöktelenítse a $\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ tört nevezőjét.
A nevezőt úgy gyöktelenítjük, hogy a tört számlálóját és nevezőjét is megszorozzuk a nevező konjugáltjával, azaz $(\sqrt{5} + \sqrt{3})$-mal.
A nevezőben az $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ azonosságot alkalmazva:
$(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$.
A tört végső, gyöktelenített alakja: $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$.
11
Mutassa meg, hogyan lehet egyszerűsíteni a $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$ kifejezést egyetlen gyökjel nélkül.
A cél az, hogy a gyök alatti kifejezést felírjuk egy kéttagú kifejezés teljes négyzeteként: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Keressük azokat az $a$ és $b$ értékeket, melyekre: $a^2 + b^2 = 7$ és $2ab = 4\sqrt{3}$.
A második egyenletből $ab = 2\sqrt{3}$. Jól látható, hogy $a = 2$ és $b = \sqrt{3}$ megfelelő választás, mert $2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$.
Így a gyök alatti rész: $(2 - \sqrt{3})^2$.
A gyökvonás elvégzése után az eredmény: $\sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = |2 - \sqrt{3}|$. Mivel $2 > \sqrt{3}$, az abszolútérték jelet elhagyhatjuk.
Alkalmazzuk a köbök különbségére és összegére vonatkozó nevezetes azonosságokat:
$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
Behelyettesítve és egyszerűsítve a törteket (feltételezve, hogy a nevezők nem nullák):
Első tört: $\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a-b} = a^2 + ab + b^2$.
Második tört: $\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a+b} = a^2 - ab + b^2$.
A kifejezés így alakul: $(a^2 + ab + b^2) - (a^2 - ab + b^2)$.
A zárójel felbontása és összevonás után: $a^2 + ab + b^2 - a^2 + ab - b^2 = 2ab$.
13
Határozza meg a $\sqrt{(x-5)^2}$ kifejezés egyszerűsített alakját, ha $x < 5$.
A $\sqrt{a^2}$ kifejezés pontos értéke mindig az $a$ abszolút értéke, azaz $|a|$. Gyakori hiba automatikusan $a$-t írni, de ez negatív számok esetén hamis eredményre vezet.
Tehát: $\sqrt{(x-5)^2} = |x-5|$.
A feladat feltétele szerint $x < 5$. Ebből következik, hogy az $(x-5)$ kifejezés értéke negatív. Negatív szám abszolút értéke a szám ellentettje.
Így $|x-5| = -(x-5) = 5-x$.
A kifejezés értéke tehát $5-x$.
14
Végezze el a lehetséges egyszerűsítéseket az $\left( \frac{x}{x-y} - \frac{y}{x+y} \right) \cdot \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ kifejezésen.
Először hozzuk közös nevezőre a zárójelben lévő törteket. A közös nevező $(x-y)(x+y)$.
Most szorozzuk meg ezt az eredményt a kifejezés második részével:
$\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} \cdot \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$.
Jól látható, hogy minden tényező egyszerűsíthető a megfelelő ellenpárjával (feltéve, hogy azok nem nullák). Az eredmény: $1$.
15
Hozza egyszerűbb alakra az $(a+b)^{-1} \cdot (a^{-1} + b^{-1})$ kifejezést ($a, b > 0$).
Írjuk át a negatív kitevős hatványokat tört alakba:
$(a+b)^{-1} = \frac{1}{a+b}$
$a^{-1} + b^{-1} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.
Hozzjuk közös nevezőre a zárójelben lévő kifejezést: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b+a}{ab}$.
Most végezzük el a szorzást:
$\frac{1}{a+b} \cdot \frac{a+b}{ab}$.
Egyszerűsíthetünk az $(a+b)$ tényezővel. A végeredmény: $\frac{1}{ab}$, vagy más alakban felírva $(ab)^{-1}$.
16
Egyszerűsítse a $\frac{\sqrt[3]{a^2 \sqrt{a}}}{\sqrt{a \sqrt[3]{a}}}$ kifejezést, ha $a > 0$.
Alakítsuk át az összes gyököt törtkitevős hatvánnyá a számlálóban és a nevezőben is.
**Számláló:**
A belső rész: $a^2 \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{2}}$.
A harmadik gyök miatt ezt $\frac{1}{3}$-ra hatványozzuk: $(a^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6}}$.
**Nevező:**
A belső rész: $a^1 \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{4}{3}}$.
A négyzetgyök miatt $\frac{1}{2}$-re hatványozzuk: $(a^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{4}{6}} = a^{\frac{2}{3}}$.
Az első tényező ismét egy négyzetkülönbség, így az is tovább bontható: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
A második tényező ($x^2 + y^2$) a valós számok halmazán nem bontható tovább szorzattá.
A teljes szorzatalak: $(x-y)(x+y)(x^2+y^2)$.
18
Egyszerűsítse az $\frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2}$ kifejezést, majd határozza meg, milyen $x$ értékek esetén értelmezhető az egyszerűsített, illetve az eredeti tört.
A tört: $\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+2)}$.
Egyszerűsítve az eredmény: $\frac{x+1}{x+2}$.
**Értelmezési tartományok:**
Az eredeti tört nevezője nem lehet nulla, azaz $(x-1)(x+2) \neq 0$. Emiatt $x \neq 1$ és $x \neq -2$.
Az egyszerűsített törtnél pusztán $x+2 \neq 0$ teljesülne, de mivel kifejezések azonosságáról beszélünk, az egyszerűsített alak feltételeként is az eredeti kikötéseket kell megtartani: $x \in \mathbb{R} \setminus \{1, -2\}$.
19
Mutassa meg, hogy az $\frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$ összeg értéke egész szám.
Gyöktelenítsük egyenként a törteket a nevező konjugáltjával való szorzással.
Az n-edik tag alakja: $\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$. Ezt megszorozva a $\frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}$ törttel, a nevező: $(\sqrt{n+1})^2 - (\sqrt{n})^2 = n+1 - n = 1$.
Tehát minden tört átírható a következő alakba: $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$.
Írjuk fel az összeget ezekkel az új alakokkal (ez egy úgynevezett teleszkópikus összeg):
$(\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{100} - \sqrt{99})$.
Látható, hogy a szomszédos zárójelek köztes tagjai kiesnek (pl. $\sqrt{2}$ és $-\sqrt{2}$).
Csak a legelső negatív tag ($-1$) és a legutolsó pozitív tag ($\sqrt{100}$) marad meg.
Az összeg: $\sqrt{100} - 1 = 10 - 1 = 9$, ami egész szám.