Gyökvonás és tulajdonságai

Páros kitevőjű gyök alatt csak nemnegatív valós szám állhat. Emiatt $2x - 6 \ge 0$, amiből $2x \ge 6$, azaz $x \ge 3$. Az értelmezési tartomány: $[3; \infty[$.

Mivel a gyökkitevő ($3$) páratlan, a gyökjel alatt bármilyen valós szám állhat (a páratlanadik gyökvonás értelmezve van negatív számokon is). Így a kifejezés minden valós $x$ esetén értelmezhető. A megoldás: $x \in \mathbb{R}$.

A definíció szerint az a valós szám a megoldás, amelynek 5. hatványa $-32$. Mivel $(-2)^5 = -32$, ezért $\sqrt[5]{-32} = -2$.

Egy szám négyzetének négyzetgyöke a szám abszolút értéke, azaz $\sqrt{a^2} = |a|$. Alkalmazva ezt a feladatra: $\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$. Mivel $x < 3$, a zárójelben lévő kifejezés negatív, így az abszolút értéke az ellentettje lesz: $-(x-3) = 3-x$.

Érdemes törtkitevős hatványokra áttérni: a belső gyök $\sqrt[4]{a^3} = a^{\frac{3}{4}}$. A belső szorzat: $a^2 \cdot a^{\frac{3}{4}} = a^{2 + \frac{3}{4}} = a^{\frac{11}{4}}$. Ebből köbgyököt vonva: $\left(a^{\frac{11}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{11}{12}}$, ami visszarva gyökös alakba: $\sqrt[12]{a^{11}}$.

A törtet bővítjük a nevező "konjugáltjával", azaz $(\sqrt{5} + \sqrt{2})$-vel, hogy kihasználjuk az $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ azonosságot. Így kapjuk: $\frac{1 \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{5 - 2} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{3}$.

Közös gyökkitevőre hozással érdemes összehasonlítani őket. A 3 és a 4 legkisebb közös többszöröse 12. Felírhatjuk, hogy $\sqrt[3]{3} = \sqrt[12]{3^4} = \sqrt[12]{81}$. A másik szám: $\sqrt[4]{4} = \sqrt[12]{4^3} = \sqrt[12]{64}$. Mivel $81 > 64$, és a 12. gyökfüggvény szigorúan monoton nő, ezért $\sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{4}$. (Alternatív megoldás: $\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = \sqrt{2}$, és $\sqrt[3]{3} > \sqrt{2}$ a hatodik hatványra emeléssel is ellenőrizhető: $9 > 8$).

Bontsuk fel a kifejezést a tényezők törtkitevős hatványaként történő felírásával. A legkülső $x$ egy négyzetgyök alatt van ($x^{1/2}$). A középső $x$ két négyzetgyök alatt van ($x^{1/4}$). A legbelső $x$ három négyzetgyök alatt van ($x^{1/8}$). Ezek szorzata: $x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{8}}$. A kitevők összeadásával: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$. A végeredmény $x^{\frac{7}{8}}$.

A negatív kitevő miatt: $2^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{2^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{2^3}} = \frac{1}{\sqrt[4]{8}}$. Gyöktelenítéshez bővítjük a törtet úgy, hogy a nevezőben teljes 4. hatvány legyen. Szorozzuk a számlálót és a nevezőt $\sqrt[4]{2}$-vel: $\frac{1 \cdot \sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[4]{2}} = \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{\sqrt[4]{2}}{2}$.

Itt az $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$ azonosságot kell használni. Legyen $a = \sqrt[3]{2}$ és $b = 1$. A bővítő tényező: $(\sqrt[3]{2})^2 + \sqrt[3]{2} \cdot 1 + 1^2 = \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1$. A törtet ezzel bővítve a nevező $(\sqrt[3]{2})^3 - 1^3 = 2 - 1 = 1$ lesz. Így a végeredmény: $\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1$.

Két feltételnek kell egyszerre teljesülnie. A belső gyök miatt: $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$. A külső gyök miatt: $1 - \sqrt{x+2} \ge 0 \implies 1 \ge \sqrt{x+2}$. Mivel mindkét oldal nemnegatív, négyzetre emelhetünk: $1 \ge x + 2 \implies -1 \ge x$. A két feltétel metszete adja a megoldást: $x \in [-2; -1]$.

A páros kitevőjű gyökvonás azonossága alapján $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$. Alkalmazva ezt a bal oldalra kapjuk, hogy $|x-1| = 1 - x$. Vegyük észre, hogy $1 - x$ éppen az $x - 1$ ellentettje, azaz $-(x - 1)$. Egy szám abszolút értéke akkor egyezik meg az ellentettjével, ha a szám nem pozitív. Tehát $x - 1 \le 0$, amiből $x \le 1$.

1. módszer (teljes négyzetté alakítás): Vegyük észre, hogy $7 \pm 4\sqrt{3} = 4 \pm 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 \pm 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 \pm \sqrt{3})^2$. Így a kifejezés: $\sqrt{(2-\sqrt{3})^2} + \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = |2-\sqrt{3}| + |2+\sqrt{3}|$. Mivel $2 > \sqrt{3}$, ez $2 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} = 4$.

2. módszer: Legyen a kifejezés $y$. Emeljük négyzetre. $y^2 = (7 - 4\sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3}) + 2\sqrt{(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})} = 14 + 2\sqrt{49 - 48} = 14 + 2 \cdot 1 = 16$. Mivel a kifejezés pozitív számok összege, csak az $y = 4$ a megoldás.

Becsüljük meg a tagokat külön-külön! A $\sqrt{49} = 7$, tehát $\sqrt{50}$ egy picit nagyobb 7-nél (kb. 7,07). A köbgyöknél tudjuk, hogy $4^3 = 64$ és $5^3 = 125$. A 100 közelebb van a 125-höz, tehát $\sqrt[3]{100}$ egy 4 és 5 közötti szám, kb. 4,6. Az összegük $7,07 + 4,64 \approx 11,71$. Tehát a kifejezés a 11 és a 12 közé esik.

Igen, igaz. Írjuk fel a bal oldalt törtkitevős hatványként: $a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{m}}$. Hozzuk a kitevőket közös nevezőre ($n \cdot m$): $a^{\frac{m}{n \cdot m}} \cdot b^{\frac{n}{n \cdot m}}$. A hatványozás azonosságai alapján kiemelhetjük az $\frac{1}{n \cdot m}$ kitevőt: $(a^m \cdot b^n)^{\frac{1}{n \cdot m}}$. Ez visszírva gyökös alakba pontosan a jobb oldalt adja: $\sqrt[n \cdot m]{a^m \cdot b^n}$.

A gyökjel alatti tört nem lehet negatív, tehát $\frac{x-2}{x+3} \ge 0$, és a nevező nem lehet nulla, $x \neq -3$. Egy tört akkor nemnegatív, ha a számláló és a nevező azonos előjelű (vagy a számláló 0).
1. eset (mindkettő $\ge 0$): $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$, és $x + 3 > 0 \implies x > -3$. Metszet: $x \ge 2$.
2. eset (mindkettő $\le 0$): $x - 2 \le 0 \implies x \le 2$, és $x + 3 < 0 \implies x < -3$. Metszet: $x < -3$.
A megoldás a két tartomány uniója: $]-\infty; -3[ \cup [2; \infty[$.

A 4. gyököt felfoghatjuk kétszeres négyzetgyökvonásként: $\sqrt{\sqrt{17 - 12\sqrt{2}}}$. Próbáljuk meg a belső részt teljes négyzetté alakítani: $17 - 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{2}$. Keressünk olyan $a$ és $b$ számokat, melyekre $(a-b)^2 = a^2+b^2 - 2ab = 17 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2}$. Legyen $a=3$ és $b=2\sqrt{2}$. Ekkor $a^2+b^2 = 9 + 8 = 17$, ami stimmel. Így a kifejezés: $\sqrt{\sqrt{(3-2\sqrt{2})^2}} = \sqrt{|3-2\sqrt{2}|}$. Mivel $3 = \sqrt{9}$ és $2\sqrt{2} = \sqrt{8}$, így $3-2\sqrt{2} > 0$. A kifejezés $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$ alakra egyszerűsödött. Ezt újra teljes négyzetté alakítjuk: $3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2$. Ebből a négyzetgyök $\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{2}-1$.

Helyettesítsük be az értéket a kifejezésbe: $\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2 - \frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1$. A négyzetre emelést elvégezve a $(1+\sqrt{5})^2 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 = 6 + 2\sqrt{5}$. Osztva 4-gyel: $\frac{6+2\sqrt{5}}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$. A teljes kifejezés: $\frac{3+\sqrt{5}}{2} - \frac{1+\sqrt{5}}{2} - \frac{2}{2} = \frac{3+\sqrt{5} - 1 - \sqrt{5} - 2}{2} = \frac{0}{2} = 0$. (Megjegyzés: ez a szám az aranymetszés aránya, ami épp az $x^2-x-1=0$ egyenlet pozitív gyöke).

A négyzetgyök értelmezése miatt $x \ge 0$. Ha $x = 0$, akkor $0 > 0$ nem teljesül. Tegyük fel, hogy $x > 0$. Ekkor oszthatjuk mindkét oldalt a pozitív $\sqrt{x}$-szel, mivel $x = (\sqrt{x})^2$. Kapjuk, hogy $\sqrt{x} > 1$. Mivel mindkét oldal pozitív, négyzetre emelhetünk: $x > 1$. A megoldás tehát $x \in ]1; \infty[$.

Tegyük fel az állítás ellenkezőjét, azaz hogy a szám racionális: $\sqrt{2} + \sqrt{3} = r$, ahol $r \in \mathbb{Q}$. Emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát. $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = r^2$, amiből elvégezve a műveletet: $2 + 2\sqrt{6} + 3 = r^2$, azaz $5 + 2\sqrt{6} = r^2$. Fejezzük ki a $\sqrt{6}$-ot: $\sqrt{6} = \frac{r^2 - 5}{2}$. Mivel $r$ racionális, az $r^2$ is az, és az abból képzett $\frac{r^2 - 5}{2}$ tört is racionális. Viszont a $\sqrt{6}$ bizonyítottan irracionális szám. Ellentmondásra jutottunk, tehát a kiindulási feltevésünk hamis volt, így a $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ csak irracionális lehet.