Azonosságok, a nulladik hatvány és negatív kitevők
A hatványozás azonosságainak magabiztos alkalmazása elengedhetetlen feltétele az emelt szintű érettségi algebrai feladatainak megoldásához. Ebben a modulban az egész kitevőjű hatványok szabályait tekintjük át. Kitérünk a negatív egész kitevők és a nulladik hatvány értelmezésére, valamint a hatványalapra vonatkozó szigorú kikötésekre. A feladatok az alapoktól egészen az összetett algebrai kifejezések egyszerűsítéséig építkeznek.
1
Adja meg a $2^4 \cdot 2^{-3}$ szorzat pontos értékét.
Az azonos alapú hatványok szorzásának szabálya alapján a kitevőket összeadjuk. Így $2^{4+(-3)} = 2^1 = 2$.
2
Milyen feltétel mellett értelmezhető az $a^0$ kifejezés, és mennyi az értéke?
Az $a \neq 0$ feltétel mellett értelmezhető, és az értéke minden ilyen esetben $1$. A $0^0$ kifejezés a valós számok halmazán nem értelmezett.
3
Írja fel a $3^{-2}$ kifejezést közönséges tört alakban.
A negatív kitevő a hatványalap reciprokát jelöli pozitív kitevővel. Tehát $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
4
Hozza egyszerűbb alakra az $\frac{(x^3)^4}{x^5}$ kifejezést, ha $x \neq 0$.
Hatvány hatványozásakor a kitevőket összeszorozzuk, így a számláló $x^{3 \cdot 4} = x^{12}$. Osztásnál az azonos alapú hatványok kitevőit kivonjuk egymásból, tehát az eredmény $x^{12-5} = x^7$.
5
Számítsa ki az $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}$ értékét.
A negatív kitevő miatt a tört reciprokát vesszük, miközben a kitevő előjele pozitívra változik. Így kapjuk, hogy $\left(\frac{2}{1}\right)^3 = 2^3 = 8$.
6
Határozza meg a $4^5 \cdot 0,25^5$ szorzat értékét.
Mivel a kitevők megegyeznek, a szorzást elvégezhetjük az alapokon a közös hatvány alatt: $(4 \cdot 0,25)^5 = 1^5 = 1$.
7
Mi az oka annak, hogy a $0^{-5}$ kifejezés nincs értelmezve a valós számok halmazán?
A negatív kitevő definíciója szerint a kifejezés átírható $\frac{1}{0^5}$ alakba. Mivel a nevező $0$, és nullával való osztás nem értelmezett, ezért a kifejezés is értelmetlen.
8
Hozza egyszerűbb alakra a $(2a^2b^{-3})^{-2}$ kifejezést, feltéve, hogy $a, b \neq 0$.
Szorzatot úgy is hatványozhatunk, hogy a tényezőket külön-külön hatványozzuk. Alkalmazzuk ezt, majd a hatvány hatványozására vonatkozó szabályt:
Oldja meg az $5^x = \frac{1}{125}$ egyenletet a valós számok halmazán.
Felírjuk mindkét oldalt 5 hatványaként. Tudjuk, hogy $125 = 5^3$, így $\frac{1}{125} = 5^{-3}$.
Ebből következik, hogy $5^x = 5^{-3}$. Mivel az $f(x) = 5^x$ exponenciális függvény szigorúan monoton, az alapok elhagyhatók, így $x = -3$.
10
Melyik szám nagyobb, a $2^{300}$ vagy a $3^{200}$?
Közös kitevőre hozzuk a kifejezéseket, hogy össze tudjuk hasonlítani az alapokat. A közös kitevő a 100 lesz.
Mivel az azonos, pozitív kitevőjű hatványoknál a nagyobb alaphoz tartozik a nagyobb érték ($8 < 9$), ezért a $3^{200}$ a nagyobb.
11
Hozza egyszerűbb alakra a $3^n + 3^{n+1} + 3^{n+2}$ kifejezést úgy, hogy azt szorzat alakban adja meg ($n \in \mathbb{Z}$).
Az összeadandókat felírhatjuk a hatványozás azonosságai alapján: $3^n + 3^n \cdot 3^1 + 3^n \cdot 3^2$.
Kiemelve a közös $3^n$ tényezőt:
$3^n(1 + 3 + 9) = 13 \cdot 3^n$.
12
Írja fel a $0,00045$ számot normálalakban, és szorozza meg $10^7$-nel.
A szám normálalakja: $4,5 \cdot 10^{-4}$.
A szorzás elvégzése az azonos alapú hatványok miatt a kitevők összeadásával történik:
$4,5 \cdot 10^{-4} \cdot 10^7 = 4,5 \cdot 10^3$.
13
Adja meg azokat a valós $x$ és $y$ értékeket, amelyekre egyszerre teljesül a $2^x \cdot 2^y = 32$ és az $x - y = 1$ egyenlet.
Az első egyenlet bal oldalán a hatványozás azonossága miatt $2^{x+y}$ áll, a jobb oldalon pedig $32 = 2^5$. A szigorú monotonitás miatt az egyenlet $x+y=5$ alakra hozható.
Kaptunk egy kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert:
1) $x + y = 5$
2) $x - y = 1$
A két egyenletet összeadva $2x = 6$, amiből $x = 3$. Ezt visszahelyettesítve $y = 2$.
14
Mennyi az $(-1)^{2k} + (-1)^{2k+1}$ kifejezés értéke, ha $k$ tetszőleges egész szám?
Bármely egész $k$ esetén a $2k$ kifejezés mindig páros számot jelöl, a $2k+1$ pedig mindig páratlant.
A negatív alap páros kitevőjű hatványa pozitív, a páratlan kitevőjű pedig negatív marad.
Így $(-1)^{2k} = 1$, és $(-1)^{2k+1} = -1$.
Az összeg értéke: $1 + (-1) = 0$.
15
Egyszerűsítse a $\frac{12^n}{3^{n-1} \cdot 4^{n+1}}$ kifejezést, ahol $n \in \mathbb{Z}$.
A számláló felbontható prím/alaptényezőkre: $12^n = (3 \cdot 4)^n = 3^n \cdot 4^n$.
Ekkor a tört így néz ki: $\frac{3^n \cdot 4^n}{3^{n-1} \cdot 4^{n+1}}$.
Az azonos alapú hatványokat osztva a kitevőket kivonjuk egymásból:
A 3-as alaphoz: $n - (n - 1) = 1$, így kapunk $3^1$-t.
A 4-es alaphoz: $n - (n + 1) = -1$, így kapunk $4^{-1}$-t.
A végeredmény $3^1 \cdot 4^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
16
Hozza egyszerűbb alakra az $\frac{x-y}{x^{-1}-y^{-1}}$ kifejezést, ha $x, y \neq 0$ és $x \neq y$.
A nevezőt alakítsuk át úgy, hogy a negatív kitevők helyett törteket használunk: $\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$. Ezt közös nevezőre hozva kapjuk a $\frac{y-x}{xy}$ kifejezést.
A fő tört osztása esetén szorzunk a nevezőben lévő tört reciprokával:
$(x-y) \cdot \frac{xy}{y-x}$.
Mivel $y-x = -(x-y)$, az $(x-y)$ tényezőkkel egyszerűsíthetünk, ami egy $-1$-es szorzót hagy maga után. Az eredmény: $-xy$.
17
Milyen számjegyre végződik a $7^{2026}$ hatvány értéke?
Vizsgáljuk meg a 7 hatványainak utolsó számjegyeit:
$7^1 \rightarrow 7$
$7^2 \rightarrow 9$
$7^3 \rightarrow 3$
$7^4 \rightarrow 1$
Ezután a sorozat ismétlődik, azaz a periódus hossza 4.
Osszuk el a $2026$-ot $4$-gyel: $2026 = 506 \cdot 4 + 2$. A maradék 2, ami azt jelenti, hogy az utolsó számjegy megegyezik a periódus 2. elemével, a $7^2$ végződésével. Tehát a $7^{2026}$ utolsó számjegye $9$.
18
Mely valós $x$ értékekre van értelmezve az $(x-3)^0$ kifejezés?
A matematika konvenciói alapján a $0^0$ kifejezés nem értelmezett. A nulladik hatvány csak olyan alap esetén értelmes, amely nem egyenlő nullával.
Így az $x-3 \neq 0$ feltételnek kell teljesülnie, amiből következik, hogy $x \neq 3$.
19
Oldja meg a $(-2)^x = -8$ egyenletet az egész számok halmazán.
Tudjuk, hogy a negatív számok páratlan kitevőjű hatványai megőrzik a negatív előjelet. Így felírható, hogy $-8 = (-2)^3$.
Az egyenlet ezáltal $(-2)^x = (-2)^3$ alakot ölti. Mivel a hatványalap egyenlő, és nem $0, 1$ vagy $-1$ (valamint a kitevő egész és biztosítja az előjel egyezést), a kitevőknek meg kell egyezniük: $x = 3$.
20
Hozza a legegyszerűbb alakra az $\left(\frac{a^{-2}b^3}{a^3b^{-4}}\right)^{-1}$ kifejezést, ha az $a$ és $b$ változók nem nullák.
Érdemes először a zárójelen belüli törtet egyszerűsíteni az osztás szabályával (a kitevők kivonásával):
$\frac{a^{-2}}{a^3} = a^{-2-3} = a^{-5}$ és $\frac{b^3}{b^{-4}} = b^{3-(-4)} = b^7$.
A belső rész tehát $a^{-5}b^7$. Ennek vesszük a $-1$-edik hatványát, azaz minden tényező kitevőjét megszorozzuk $-1$-gyel:
$(a^{-5}b^7)^{-1} = a^5 \cdot b^{-7}$, ami tört alakban felírva $\frac{a^5}{b^7}$.