Halmazműveletek

Két halmaz uniója (egyesítése) azokat az elemeket tartalmazza, amelyek legalább az egyik halmazban benne vannak. A közös elemeket (3, 4) csak egyszer soroljuk fel.

Megoldás: \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)

Az unióba beletartozik minden olyan valós szám, amely legalább az egyik intervallumnak eleme. Mivel a két intervallum átfedi egymást (0-tól 5-ig), egyetlen összefüggő intervallumot kapunk.

Az alsó határt az \(A\) halmaz adja (nyílt), a felső határt a \(B\) halmaz (zárt).

Megoldás: \( A \cup B = ]-3; 8] \)

Először soroljuk fel a halmazok elemeit:

\( A \) elemei azok az egész számok, melyekre a feltétel teljesül: \( A = \{-2, -1, 0, 1, 2\} \)

\( B \) elemei a 4-nél nem nagyobb természetes számok (a 0 is ide tartozik a magyar konvenció szerint): \( B = \{0, 1, 2, 3, 4\} \)

A két halmaz uniója ezen elemek összessége:

Megoldás: \( A \cup B = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} \)

Két halmaz metszete (közös része) azokat az elemeket tartalmazza, amelyek mindkét halmaznak egyszerre elemei.

Keresünk olyan számokat, amelyek az \( A \) és a \( B \) halmazban is szerepelnek. Ezek a 2 és a 4.

Megoldás: \( A \cap B = \{2, 4\} \)

A metszet azokat a valós számokat tartalmazza, amelyek egyszerre esnek bele az \( [1; 6] \) és a \( ]4; 10[ \) intervallumba.

A közös szakasz a 4-nél kezdődik (de a 4 nincs benne \(B\)-ben, így a metszetben sem lesz benne, tehát alulról nyílt) és a 6-ig tart (a 6 mindkettőben benne van, tehát zárt).

Megoldás: \( A \cap B = ]4; 6] \)

A metszet definíciója alapján azokat a számokat keressük, amelyek egyszerre párosak és prímek.

Az egyetlen páros prímszám a 2. Minden más prímszám páratlan.

Megoldás: \( A \cap B = \{2\} \)

Két halmaz különbsége, \( A \setminus B \) (A mínusz B) azokat az elemeket tartalmazza, amelyek benne vannak az \( A \) halmazban, de nincsenek benne a \( B \) halmazban.

Elvesszük \( A \)-ból a közös elemeket (\(a, c, e\)).

Megoldás: \( A \setminus B = \{b, d\} \)

Az \( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \) azokat a valós számokat tartalmazza, amelyek nem racionálisak.

Ezek definíció szerint az irracionális számok (gyakran \( \mathbb{Q}^* \)-gal jelölve).

Megoldás: Az irracionális számok halmazát kapjuk.

Az \( A \setminus B \) azon számokat jelöli, amik \( A \)-ban benne vannak, de \( B \)-ben nincsenek.

Az \( A \) halmaz 0-tól 10-ig tart. Ebből "kivágjuk" a \( B \) halmazt, ami 5-től indul. A maradék tehát 0-tól 5-ig fog tartani.

Mivel az 5 eleme a \( B \) halmaznak (zárt zárójel), ezért a különbséghalmazból kikerül, vagyis a végeredménynél felülről nyílt lesz az intervallum.

Megoldás: \( A \setminus B = [0; 5[ \)

A szimmetrikus differencia azon elemek halmaza, amelyek pontosan az egyik halmaznak elemei. Képlettel: \( A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \).

\( A \setminus B = \{1, 2\} \)

\( B \setminus A = \{4\} \)

A két különbséghalmaz uniója adja a végeredményt. (Másik módszer: unió mínusz metszet).

Megoldás: \( A \triangle B = \{1, 2, 4\} \)

A szimmetrikus differenciát úgy is felírhatjuk, mint az unióból kivonva a metszetet: \( (A \cup B) \setminus (A \cap B) \).

1) Unió: \( A \cup B = ]-2; 6] \)

2) Metszet: \( A \cap B = [0; 4[ \)

3) Ha az unióból eltávolítjuk a metszetet, két különálló intervallumot kapunk. A 0-t elvesszük, így ott nyílt lesz, a 4-et nem vesszük el (mert nincs benne a metszetben), így ott zárt marad.

Megoldás: \( A \triangle B = ]-2; 0[ \cup [4; 6] \)

A szimmetrikus differencia egyenlő az unió és a metszet különbségével:

\[ A \triangle B = (A \cup B) \setminus (A \cap B) \]

Ebből következik, hogy az unió elemei közül csupán a közös elemet, a 3-ast kell elhagynunk.

Megoldás: \( A \triangle B = \{1, 2, 4, 5\} \)

Egy halmaz komplementere (kiegészítő halmaza) az alaphalmaz azon elemeit tartalmazza, amelyek nincsenek benne a halmazban. Másképp: \( \overline{A} = U \setminus A \).

Elvesszük az 1-et és a 2-t az alaphalmazból.

Megoldás: \( \overline{A} = \{3, 4, 5\} \)

A komplementerhalmaz azokat az egész számokat tartalmazza, amelyek nem párosak.

A nem páros egész számok a páratlan számok.

Megoldás: A páratlan egész számok halmaza.

Az \( \overline{A} \) azokat a számokat tartalmazza a \( [0; 10] \) intervallumból, amik nincsenek benne \( A \)-ban.

Ezek egyrészt a 2-nél kisebb vagy egyenlő számok (mivel a 2 nyílt \(A\)-ban, így a komplementerben zárt lesz), másrészt az 5-nél nagyobb számok (mivel az 5 zárt \(A\)-ban, így a komplementerben nyílt lesz).

Megoldás: \( \overline{A} = [0; 2] \cup ]5; 10] \)

A Descartes-szorzat minden lehetséges rendezett párt tartalmaz, ahol az első elem az \( A \) halmazból, a második elem a \( B \) halmazból származik.

Képezzük az összes párt: az 1-est párosítjuk \(x\)-szel és \(y\)-nal, majd a 2-est is.

Megoldás: \( A \times B = \{(1,x), (1,y), (2,x), (2,y)\} \)

Két véges halmaz Descartes-szorzatának elemszáma megegyezik az elemszámok szorzatával: \( |A \times B| = |A| \cdot |B| \).

Behelyettesítve: \( 5 \cdot 4 = 20 \).

Megoldás: 20 eleme van.

Az \( A \times B \) halmaz azokat az \( (x, y) \) pontokat jelenti a koordinátasíkon, amelyekre \( x \in [0; 1] \) és \( y \in [0; 2] \).

Ezek az egyenlőtlenségek: \( 0 \le x \le 1 \) és \( 0 \le y \le 2 \).

Az ábrázolás eredménye egy olyan téglalap, melynek csúcsai: (0,0), (1,0), (1,2) és (0,2), és magában foglalja a határoló vonalakat és a belső pontokat is.

Megoldás: Egy tengelypárhuzamos téglalapot (és annak belsejét).

A zárójel miatt először az uniót végezzük el:

1) \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4\} \)

Ezután képezzük ennek a halmaznak a metszetét a \( C \) halmazzal (\( \{3, 4, 5\} \)):

2) \( \{1, 2, 3, 4\} \cap \{3, 4, 5\} = \{3, 4\} \)

Megoldás: \( \{3, 4\} \)

Először külön-külön elvégezzük a zárójelben lévő különbségképzéseket:

1) \( A \setminus B \): Azok az elemek, amik \( A \)-ban benne vannak, de \( B \)-ben nincsenek. Ez csak az '\(a\)'. Tehát \( A \setminus B = \{a\} \).

2) \( B \setminus A \): Azok az elemek, amik \( B \)-ben benne vannak, de \( A \)-ban nincsenek. Ez csak a '\(d\)'. Tehát \( B \setminus A = \{d\} \).

Végül képezzük ezen két, egyelemű halmaz Descartes-szorzatát:

\( \{a\} \times \{d\} \)

Megoldás: \( \{(a, d)\} \)