Számos emelt szintű egyenletrendszer első ránézésre rendkívül bonyolultnak tűnik, mivel a változók nevezőben, gyök alatt, vagy éppen exponenciális és logaritmikus kifejezésekben szerepelnek. Ha azonban észrevesszük a megfelelő blokkok ismétlődését, új ismeretlenek (helyettesítés) bevezetésével a feladat egy egyszerű elsőfokú (lineáris) egyenletrendszerré alakítható. Ebben a modulban az ilyen típusú – formailag lineárisra visszavezethető – feladatok felismerését és precíz megoldását gyakorolhatod.
1
Oldja meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert:
$$ \begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 7 \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1 \end{cases} $$
Kikötések: $x \neq 0$ és $y \neq 0$.
Vezessünk be új ismeretleneket: $a = \frac{1}{x}$ és $b = \frac{1}{y}$. Így egy egyszerű lineáris egyenletrendszert kapunk:
$$ \begin{cases} 2a + 3b = 7 \\ a - b = 1 \end{cases} $$
A második egyenletből kifejezve kapjuk, hogy $a = b + 1$. Helyettesítsük be ezt az első egyenletbe:
$2(b + 1) + 3b = 7 \Rightarrow 5b + 2 = 7 \Rightarrow 5b = 5 \Rightarrow b = 1$.
Ebből $a = 1 + 1 = 2$.
Visszatérve az eredeti változókhoz:
$\frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{y} = 1 \Rightarrow y = 1$
A megoldás az $(\frac{1}{2}; 1)$ számpár.
2
Határozza meg a valós számpárokat, amelyekre teljesül az alábbi egyenletrendszer:
$$ \begin{cases} \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{\sqrt{y}} = 5 \\ \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{y}} = 0 \end{cases} $$
Kikötések a gyök és a tört miatt: $x > 0$ és $y > 0$.
Legyen $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$ és $v = \frac{1}{\sqrt{y}}$. A lineáris rendszer:
$$ \begin{cases} 4u + 3v = 5 \\ 2u - v = 0 \end{cases} $$
A második egyenletből adódik, hogy $v = 2u$. Behelyettesítve az elsőbe:
$4u + 3(2u) = 5 \Rightarrow 10u = 5 \Rightarrow u = \frac{1}{2}$.
Ekkor $v = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
Oldja meg a következő exponenciális egyenletrendszert a valós számok halmazán:
$$ \begin{cases} 3 \cdot 2^x - 2 \cdot 3^y = 6 \\ 2^x + 3^y = 13 \end{cases} $$
Vezessünk be új változókat: $A = 2^x$ és $B = 3^y$, ahol $A > 0$ és $B > 0$.
Az egyenletrendszer lineáris alakban:
$$ \begin{cases} 3A - 2B = 6 \\ A + B = 13 \end{cases} $$
A második egyenletből $A = 13 - B$. Helyettesítsük be az első egyenletbe:
$3(13 - B) - 2B = 6$
$39 - 3B - 2B = 6$
$33 = 5B \Rightarrow B = 6,6$ (vagy $\frac{33}{5}$).
Tehát $A = 13 - 6,6 = 6,4$ (vagy $\frac{32}{5}$).
Az eredeti változók:
$2^x = \frac{32}{5} \Rightarrow x = \log_2(\frac{32}{5}) = 5 - \log_2 5$
$3^y = \frac{33}{5} \Rightarrow y = \log_3(\frac{33}{5}) = \log_3 33 - \log_3 5$
Mivel mindkét érték valós, ezek alkotják a megoldást.
4
Adja meg azon valós $(x; y)$ számpárokat, melyekre igaz:
$$ \begin{cases} \log_2 x + 2\log_3 y = 7 \\ 3\log_2 x - \log_3 y = 7 \end{cases} $$
Kikötések a logaritmus értelmezése miatt: $x > 0, y > 0$.
Vezessünk be új ismeretleneket a logaritmikus kifejezésekre: $u = \log_2 x$ és $v = \log_3 y$.
A feladat egy lineáris egyenletrendszerré egyszerűsödik:
$$ \begin{cases} u + 2v = 7 \\ 3u - v = 7 \end{cases} $$
Szorozzuk meg a második egyenletet kettővel: $6u - 2v = 14$.
Adjuk hozzá az első egyenlethez:
$(u + 6u) + (2v - 2v) = 7 + 14 \Rightarrow 7u = 21 \Rightarrow u = 3$.
Helyettesítsük vissza: $3 + 2v = 7 \Rightarrow 2v = 4 \Rightarrow v = 2$.
Visszahelyettesítve:
$\log_2 x = 3 \Rightarrow x = 2^3 = 8$
$\log_3 y = 2 \Rightarrow y = 3^2 = 9$
A megoldás a $(8; 9)$ számpár.
5
Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi trigonometrikus egyenletrendszert:
$$ \begin{cases} 2\sin x + 3\cos y = 1 \\ \sin x - 2\cos y = -3 \end{cases} $$
Alkalmazzuk a $p = \sin x$ és $q = \cos y$ helyettesítéseket, ahol $-1 \le p \le 1$ és $-1 \le q \le 1$.
A lineáris rendszer:
$$ \begin{cases} 2p + 3q = 1 \\ p - 2q = -3 \end{cases} $$
A második egyenletből $p = 2q - 3$. Behelyettesítve az elsőbe:
$2(2q - 3) + 3q = 1 \Rightarrow 4q - 6 + 3q = 1 \Rightarrow 7q = 7 \Rightarrow q = 1$.
Ekkor $p = 2(1) - 3 = -1$.
Mindkét érték eleme a $[-1; 1]$ intervallumnak, így megfelelőek.
Visszatérés az eredeti változókra:
$\sin x = -1 \Rightarrow x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)
$\cos y = 1 \Rightarrow y = 2l\pi$ ($l \in \mathbb{Z}$)
6
Mely $x$ és $y$ valós számokra teljesül a következő egyenletrendszer?
$$ \begin{cases} \frac{5}{x+1} + \frac{2}{y-2} = 7 \\ \frac{3}{x+1} - \frac{1}{y-2} = 2 \end{cases} $$
Kikötések: $x \neq -1$ és $y \neq 2$.
Helyettesítsünk: $a = \frac{1}{x+1}$ és $b = \frac{1}{y-2}$. A rendszer lineáris alakot vesz fel:
$$ \begin{cases} 5a + 2b = 7 \\ 3a - b = 2 \end{cases} $$
A második egyenletet szorozzuk meg 2-vel: $6a - 2b = 4$.
Adjuk hozzá az elsőhöz: $11a = 11 \Rightarrow a = 1$.
Visszahelyettesítve: $3(1) - b = 2 \Rightarrow b = 1$.
Eredeti változók:
$\frac{1}{x+1} = 1 \Rightarrow x+1 = 1 \Rightarrow x = 0$
$\frac{1}{y-2} = 1 \Rightarrow y-2 = 1 \Rightarrow y = 3$
A megoldás a $(0; 3)$ számpár.
7
Oldja meg a valós számpárok halmazán:
$$ \begin{cases} 2\sqrt{x-1} + \sqrt{y+2} = 5 \\ \sqrt{x-1} - 2\sqrt{y+2} = 0 \end{cases} $$
Kikötések: $x \ge 1$ és $y \ge -2$.
Legyen $A = \sqrt{x-1}$ és $B = \sqrt{y+2}$, ahol $A, B \ge 0$. A lineáris rendszerünk:
$$ \begin{cases} 2A + B = 5 \\ A - 2B = 0 \end{cases} $$
A második egyenletből adódik, hogy $A = 2B$. Helyettesítsük ezt az első egyenletbe:
$2(2B) + B = 5 \Rightarrow 5B = 5 \Rightarrow B = 1$.
Így $A = 2(1) = 2$.
Mindkettő nemnegatív, így folytathatjuk a megoldást.
Határozza meg a megfelelő $(x; y)$ valós számpárokat:
$$ \begin{cases} \frac{1}{2x-y} + \frac{3}{x+y} = 4 \\ \frac{2}{2x-y} - \frac{1}{x+y} = 1 \end{cases} $$
Kikötések a nevezők miatt: $2x-y \neq 0$ és $x+y \neq 0$.
Vezessünk be új változókat a törtkifejezésekre: $u = \frac{1}{2x-y}$ és $v = \frac{1}{x+y}$.
A lineáris rendszer:
$$ \begin{cases} u + 3v = 4 \\ 2u - v = 1 \end{cases} $$
A második egyenletből kifejezve $v$-t: $v = 2u - 1$. Az első egyenletbe beírva:
$u + 3(2u - 1) = 4 \Rightarrow 7u - 3 = 4 \Rightarrow 7u = 7 \Rightarrow u = 1$.
Ebből $v = 2(1) - 1 = 1$.
Most a kapott értékeket visszahelyettesítve kapunk egy újabb lineáris rendszert az eredeti változókkal:
$$ \begin{cases} 2x-y = 1 \\ x+y = 1 \end{cases} $$
A két egyenletet összeadva: $3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$.
Az $y$-t kifejezve: $y = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
A megoldás a $(\frac{2}{3}; \frac{1}{3})$ számpár.
9
Oldja meg a valós számpárok körében az alábbi rendszert:
$$ \begin{cases} 2^{x+1} + 3^{y-1} = 17 \\ 2^x - 3^y = -23 \end{cases} $$
A hatványozás azonosságai alapján az első egyenlet így is írható: $2 \cdot 2^x + \frac{1}{3} \cdot 3^y = 17$.
Alkalmazzuk a következő helyettesítést: $a = 2^x$ és $b = 3^y$. A rendszer formailag lineárissá válik:
$$ \begin{cases} 2a + \frac{b}{3} = 17 \\ a - b = -23 \end{cases} $$
A második egyenletből adódik, hogy $b = a + 23$. Helyettesítsünk az első egyenletbe:
$2a + \frac{a+23}{3} = 17$
Szorozzuk be az egyenletet 3-mal:
$6a + a + 23 = 51 \Rightarrow 7a = 28 \Rightarrow a = 4$.
Ebből $b = 4 + 23 = 27$.
Térjünk vissza $x$-re és $y$-ra:
$2^x = 4 \Rightarrow x = 2$
$3^y = 27 \Rightarrow y = 3$
A keresett megoldás: $(2; 3)$.
10
Mely valós számpárok elégítik ki az alábbi logaritmikus egyenletrendszert?
$$ \begin{cases} \log_2 (2x) + \log_3 (3y) = 5 \\ 2\log_2 x - \log_3 y = 0 \end{cases} $$
Kikötések: $x > 0$ és $y > 0$.
A logaritmus azonosságát használva az első egyenlet kibontható:
$(\log_2 2 + \log_2 x) + (\log_3 3 + \log_3 y) = 5$
$1 + \log_2 x + 1 + \log_3 y = 5 \Rightarrow \log_2 x + \log_3 y = 3$.
Vezessünk be új változókat: $A = \log_2 x$ és $B = \log_3 y$. A lineáris rendszer:
$$ \begin{cases} A + B = 3 \\ 2A - B = 0 \end{cases} $$
A második egyenletből adódik, hogy $B = 2A$. Behelyettesítve az első egyenletbe:
$A + 2A = 3 \Rightarrow 3A = 3 \Rightarrow A = 1$.
Ebből következik, hogy $B = 2(1) = 2$.
Visszatérve az eredeti változókra:
$\log_2 x = 1 \Rightarrow x = 2^1 = 2$
$\log_3 y = 2 \Rightarrow y = 3^2 = 9$
A megoldás a $(2; 9)$ számpár.
11
Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számpárok körében:
$$ \begin{cases} 3|x-2| + 4|y+1| = 10 \\ |x-2| - 2|y+1| = 0 \end{cases} $$
Vezessünk be új, nemnegatív ismeretleneket: $p = |x-2|$ és $q = |y+1|$. A rendszer lineárissá egyszerűsödik:
$$ \begin{cases} 3p + 4q = 10 \\ p - 2q = 0 \end{cases} $$
A második egyenletből $p = 2q$. Behelyettesítve az elsőbe:
$3(2q) + 4q = 10 \Rightarrow 10q = 10 \Rightarrow q = 1$.
Ekkor $p = 2(1) = 2$.
Mivel $p, q \ge 0$, folytathatjuk a megoldást:
$|x-2| = 2 \Rightarrow x-2 = 2$ vagy $x-2 = -2$. Így $x_1 = 4$, $x_2 = 0$.
$|y+1| = 1 \Rightarrow y+1 = 1$ vagy $y+1 = -1$. Így $y_1 = 0$, $y_2 = -2$.
A változók kombinációiból négy megoldáspár adódik: $(4; 0)$, $(4; -2)$, $(0; 0)$, $(0; -2)$.
12
Határozza meg a megoldásokat a valós számok halmazán:
$$ \begin{cases} \frac{3}{x^2} + \frac{2}{y^3} = 5 \\ \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^3} = 0 \end{cases} $$
Kikötések: $x \neq 0$ és $y \neq 0$.
Vezessünk be új ismeretleneket: $a = \frac{1}{x^2}$ és $b = \frac{1}{y^3}$. A rendszerünk:
$$ \begin{cases} 3a + 2b = 5 \\ a - b = 0 \end{cases} $$
A második egyenletből adódik, hogy $a = b$. Behelyettesítve az első egyenletbe:
$3b + 2b = 5 \Rightarrow 5b = 5 \Rightarrow b = 1$.
És mivel $a = b$, így $a = 1$.
Térjünk vissza $x$-re és $y$-ra:
$\frac{1}{x^2} = 1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 1$
$\frac{1}{y^3} = 1 \Rightarrow y^3 = 1 \Rightarrow y = 1$
A megoldáspárok: $(1; 1)$ és $(-1; 1)$.
13
Milyen valós számpárok teszik igazzá az alábbi egyenletrendszert?
$$ \begin{cases} 2^x + \log_2 y = 5 \\ 2 \cdot 2^x - 3\log_2 y = 5 \end{cases} $$
Kikötés a logaritmus miatt: $y > 0$.
A helyettesítéshez válasszuk az $u = 2^x$ és $v = \log_2 y$ új változókat.
A lineáris egyenletrendszer így alakul:
$$ \begin{cases} u + v = 5 \\ 2u - 3v = 5 \end{cases} $$
Az első egyenletből kifejezve kapjuk, hogy $v = 5 - u$. Helyettesítsünk a másodikba:
$2u - 3(5 - u) = 5$
$2u - 15 + 3u = 5 \Rightarrow 5u = 20 \Rightarrow u = 4$.
Ekkor $v = 5 - 4 = 1$.
Eredeti változók:
$2^x = 4 \Rightarrow x = 2$
$\log_2 y = 1 \Rightarrow y = 2^1 = 2$
A megfelelő számpár: $(2; 2)$.
14
Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletrendszert:
$$ \begin{cases} \frac{2}{\sqrt[3]{x}} + \frac{3}{\sqrt[3]{y}} = 5 \\ \frac{1}{\sqrt[3]{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{y}} = -1 \end{cases} $$
Kikötések a tört miatt: $x \neq 0$ és $y \neq 0$. (Páratlan kitevőjű gyök negatív számokra is értelmezett).
Vezessük be a $p = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ és $q = \frac{1}{\sqrt[3]{y}}$ helyettesítéseket.
Lineáris rendszer:
$$ \begin{cases} 2p + 3q = 5 \\ p - 2q = -1 \end{cases} $$
A második egyenletből adódik, hogy $p = 2q - 1$. Behelyettesítve az elsőbe:
$2(2q - 1) + 3q = 5 \Rightarrow 4q - 2 + 3q = 5 \Rightarrow 7q = 7 \Rightarrow q = 1$.
Így $p = 2(1) - 1 = 1$.
Mely valós számpárokra igaz az alábbi trigonometrikus egyenletrendszer?
$$ \begin{cases} \operatorname{tg} x + 2\operatorname{ctg} y = 3 \\ 2\operatorname{tg} x - \operatorname{ctg} y = 1 \end{cases} $$
Kikötések: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ és $y \neq l\pi$ ($k, l \in \mathbb{Z}$).
Legyen $a = \operatorname{tg} x$ és $b = \operatorname{ctg} y$. Ekkor:
$$ \begin{cases} a + 2b = 3 \\ 2a - b = 1 \end{cases} $$
Az első egyenletből kifejezve $a = 3 - 2b$. Helyettesítsük be a másodikba:
$2(3 - 2b) - b = 1 \Rightarrow 6 - 4b - b = 1 \Rightarrow -5b = -5 \Rightarrow b = 1$.
Ebből $a = 3 - 2(1) = 1$.
Eredeti változók keresése:
$\operatorname{tg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)
$\operatorname{ctg} y = 1 \Rightarrow y = \frac{\pi}{4} + l\pi$ ($l \in \mathbb{Z}$)
16
Oldja meg a valós számok halmazán:
$$ \begin{cases} 2\log_x 2 + 3\log_y 3 = 5 \\ \log_x 2 - \log_y 3 = 0 \end{cases} $$
Kikötések az alapok miatt: $x > 0, x \neq 1$ és $y > 0, y \neq 1$.
Vezessünk be új ismeretleneket: $u = \log_x 2$ és $v = \log_y 3$.
A lineáris rendszer:
$$ \begin{cases} 2u + 3v = 5 \\ u - v = 0 \end{cases} $$
A második egyenletből adódik, hogy $u = v$. Helyettesítsük ezt az elsőbe:
$2v + 3v = 5 \Rightarrow 5v = 5 \Rightarrow v = 1$.
Mivel $u = v$, így $u = 1$.
Az eredeti logaritmikus kifejezésekből:
$\log_x 2 = 1 \Rightarrow x^1 = 2 \Rightarrow x = 2$
$\log_y 3 = 1 \Rightarrow y^1 = 3 \Rightarrow y = 3$
A kikötéseknek megfelelnek, a megoldás $(2; 3)$.
17
Határozza meg a megoldásokat a valós számpárok halmazán:
$$ \begin{cases} 5 \cdot 2^{x-y} + 2 \cdot 3^{x+y} = 11 \\ 2^{x-y} - 3^{x+y} = -2 \end{cases} $$
Ez egy összetett rendszer, de az alapváltozók ismétlődő mintát mutatnak.
Legyen $A = 2^{x-y}$ és $B = 3^{x+y}$. A rendszer formailag lineáris lesz:
$$ \begin{cases} 5A + 2B = 11 \\ A - B = -2 \end{cases} $$
A második egyenletből kifejezve kapjuk, hogy $B = A + 2$. Helyettesítsünk az első egyenletbe:
$5A + 2(A + 2) = 11 \Rightarrow 7A + 4 = 11 \Rightarrow 7A = 7 \Rightarrow A = 1$.
Ebből $B = 1 + 2 = 3$.
Térjünk vissza az eredeti változókra:
$2^{x-y} = 1 \Rightarrow x - y = 0 \Rightarrow x = y$
$3^{x+y} = 3 \Rightarrow x + y = 1$
Ezzel egy újabb, egyszerű rendszert kaptunk:
$$ \begin{cases} x-y = 0 \\ x+y = 1 \end{cases} $$
Mivel $x = y$, a második egyenlet: $2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
Így $y = \frac{1}{2}$. A megoldás: $(\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$.
18
Mely $x, y$ valós értékek elégítik ki az alábbi rendszert?
$$ \begin{cases} \sqrt{2x+y} + 3\sqrt{x-y} = 7 \\ 2\sqrt{2x+y} - \sqrt{x-y} = 0 \end{cases} $$
Kikötések: $2x+y \ge 0$ és $x-y \ge 0$.
Helyettesítsünk: $u = \sqrt{2x+y}$ és $v = \sqrt{x-y}$, ahol $u, v \ge 0$.
A kapott lineáris egyenletrendszer:
$$ \begin{cases} u + 3v = 7 \\ 2u - v = 0 \end{cases} $$
A második egyenlet alapján $v = 2u$. Behelyettesítve az elsőbe:
$u + 3(2u) = 7 \Rightarrow 7u = 7 \Rightarrow u = 1$.
Ebből $v = 2(1) = 2$.
Visszaszámolás:
$\sqrt{2x+y} = 1 \Rightarrow 2x+y = 1$
$\sqrt{x-y} = 2 \Rightarrow x-y = 4$
Kaptunk egy újabb egyszerű lineáris rendszert:
$$ \begin{cases} 2x+y = 1 \\ x-y = 4 \end{cases} $$
Adjuk össze a két egyenletet:
$3x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{3}$.
Helyettesítsük vissza: $\frac{5}{3} - y = 4 \Rightarrow y = \frac{5}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{7}{3}$.
A keresett megoldáspár: $(\frac{5}{3}; -\frac{7}{3})$.
19
Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletrendszert:
$$ \begin{cases} \frac{2}{x+y-1} + \frac{3}{x-y+2} = 5 \\ \frac{4}{x+y-1} - \frac{1}{x-y+2} = 3 \end{cases} $$
Kikötések: $x+y-1 \neq 0$ és $x-y+2 \neq 0$.
Legyen $a = \frac{1}{x+y-1}$ és $b = \frac{1}{x-y+2}$.
Ekkor egy kézismeretlenes elsőfokú rendszert kapunk:
$$ \begin{cases} 2a + 3b = 5 \\ 4a - b = 3 \end{cases} $$
A második egyenletből adódik, hogy $b = 4a - 3$. Behelyettesítve:
$2a + 3(4a - 3) = 5 \Rightarrow 14a - 9 = 5 \Rightarrow 14a = 14 \Rightarrow a = 1$.
Ebből $b = 4(1) - 3 = 1$.
Eredeti változókkal két új lineáris egyenletet kapunk:
$$ \begin{cases} x+y-1 = 1 \Rightarrow x+y = 2 \\ x-y+2 = 1 \Rightarrow x-y = -1 \end{cases} $$
Adjuk össze a két egyenletet: $2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
Helyettesítsünk vissza: $\frac{1}{2} + y = 2 \Rightarrow y = \frac{3}{2}$.
A megoldás a $(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ számpár.
20
Mely valós számpárok jelentik a megoldását a következő bonyolultabb egyenletrendszernek?
$$ \begin{cases} \frac{3}{\sqrt{x+y}} + \frac{2}{\sqrt{x-y}} = 5 \\ \frac{4}{\sqrt{x+y}} - \frac{1}{\sqrt{x-y}} = 3 \end{cases} $$
Értelmezési tartomány (gyök és tört egyszerre): $x+y > 0$ és $x-y > 0$.
Vezessünk be új ismeretleneket:
$A = \frac{1}{\sqrt{x+y}}$ és $B = \frac{1}{\sqrt{x-y}}$.
A kapott lineáris rendszer:
$$ \begin{cases} 3A + 2B = 5 \\ 4A - B = 3 \end{cases} $$
A második egyenlet alapján $B = 4A - 3$. Helyettesítsük ezt az első egyenletbe:
$3A + 2(4A - 3) = 5 \Rightarrow 11A - 6 = 5 \Rightarrow 11A = 11 \Rightarrow A = 1$.
Visszaszámolva $B$-t: $B = 4(1) - 3 = 1$.
Térjünk vissza az eredeti változókhoz:
$\frac{1}{\sqrt{x+y}} = 1 \Rightarrow \sqrt{x+y} = 1 \Rightarrow x+y = 1$.
$\frac{1}{\sqrt{x-y}} = 1 \Rightarrow \sqrt{x-y} = 1 \Rightarrow x-y = 1$.
Ebből a rendszerből:
$$ \begin{cases} x+y = 1 \\ x-y = 1 \end{cases} $$
A két egyenletet összeadva: $2x = 2 \Rightarrow x = 1$.
Visszahelyettesítve: $1+y=1 \Rightarrow y=0$.
A megoldás az $(1; 0)$ számpár, mely kielégíti a kikötéseket is.