A gyakorlati életből vett problémák matematikai nyelvre történő lefordítása az emelt szintű érettségi egyik legfontosabb követelménye. Ebben a modulban a mozgásos, munkavégzéses és keverési feladatok megoldási stratégiáit sajátíthatod el. Az itt található feladatok célja, hogy rutint szerezz a többismeretlenes lineáris egyenletrendszerek precíz felírásában és hatékony megoldásában, a legegyszerűbb összefüggésektől a legösszetettebb problémákig.
1
Két szám összege 45, különbsége pedig 11. Melyik ez a két szám?
Jelölje a két számot $x$ és $y$. A szöveg alapján az alábbi egyenletrendszert írhatjuk fel:
1) $x + y = 45$
2) $x - y = 11$
A két egyenletet összeadva kapjuk, hogy $2x = 56$, amiből $x = 28$. Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe adódik, hogy $28 + y = 45$, tehát $y = 17$. A keresett két szám a 28 és a 17.
2
Egy apa most háromszor annyi idős, mint a fia. Öt évvel ezelőtt négyszer annyi idős volt, mint a fia akkori életkora. Hány évesek most?
Jelölje az apa jelenlegi életkorát $A$, a fiúét $F$.
A jelenlegi helyzet: $A = 3F$
Öt évvel ezelőtt: $A - 5 = 4(F - 5)$
Helyettesítsük be az első egyenletet a másodikba:
$3F - 5 = 4F - 20$
Ebből átrendezés után kapjuk, hogy $F = 15$. Mivel az apa háromszor idősebb, $A = 3 \cdot 15 = 45$. Tehát a fiú jelenleg 15, az apa 45 éves.
3
Egy gazdának összesen 40 csirkéje és báránya van a tanyán. Az állatoknak összesen 114 lába van. Hány csirke és hány bárány van a farmon?
Jelölje a csirkék számát $C$, a bárányok számát $B$. A csirkéknek 2, a bárányoknak 4 lábuk van.
Az állatok száma: $C + B = 40$
A lábak száma: $2C + 4B = 114$
Az első egyenletből $C = 40 - B$. Ezt a másodikba helyettesítve:
$2(40 - B) + 4B = 114$
$80 - 2B + 4B = 114$
$2B = 34 \Rightarrow B = 17$
Mivel összesen 40 állat van, a csirkék száma $C = 40 - 17 = 23$. A tanyán 23 csirke és 17 bárány él.
4
Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 12. Ha a számjegyeket felcseréljük, az eredeti számnál 18-cal nagyobb számot kapunk. Melyik az eredeti szám?
Jelölje az eredeti szám tizes helyiértékén lévő számjegyet $x$, az egyes helyiértékén lévőt $y$. Ekkor az eredeti szám értéke $10x + y$. A felcserélt számjegyű szám értéke $10y + x$.
1) $x + y = 12$
2) $(10y + x) - (10x + y) = 18$
A második egyenletet összevonva: $9y - 9x = 18$, amit 9-cel elosztva kapjuk: $y - x = 2$.
Az egyenletrendszerünk tehát:
$x + y = 12$
$-x + y = 2$
Összeadva a két egyenletet: $2y = 14 \Rightarrow y = 7$.
Visszahelyettesítve adódik, hogy $x = 5$. Az eredeti szám tehát az 57.
5
Egy boltos kétféle kávét kever össze. Az egyik 3000 Ft/kg, a másik 4500 Ft/kg áron kapható. Összesen 50 kg keveréket készít, amelynek kilónkénti ára pontosan 3600 Ft lesz. Hány kilogrammot használt fel a két kávéfajtából?
Jelölje az olcsóbb (3000 Ft-os) kávé mennyiségét $x$, a drágábbik (4500 Ft-os) kávéét $y$ (kilogrammban mérve).
Mennyiségi egyenlet: $x + y = 50$
Érték egyenlet: $3000x + 4500y = 50 \cdot 3600$
Az értékegyenlet jobb oldalát kiszámolva és 100-zal egyszerűsítve:
$30x + 45y = 1800$
Osszuk el 15-tel: $2x + 3y = 120$
Az első egyenletből $x = 50 - y$. Ezt beírva:
$2(50 - y) + 3y = 120$
$100 - 2y + 3y = 120 \Rightarrow y = 20$
A másik mennyiség $x = 50 - 20 = 30$. A boltos 30 kg-ot használt az olcsóbb, és 20 kg-ot a drágább kávéból.
6
Laboratóriumban kétféle, 30%-os és 70%-os alkohololdat áll rendelkezésre. Összesen 40 liter 50%-os oldatot szeretnénk készíteni. Hány litert kell összekevernünk az egyes oldatokból?
Legyen a 30%-os oldat térfogata $x$, a 70%-os oldaté $y$ liter.
Az össztérfogat: $x + y = 40$
Az oldott anyag (tiszta alkohol) mennyiségére vonatkozó egyenlet:
$0.3x + 0.7y = 0.5 \cdot 40$
A második egyenletet rendezve: $0.3x + 0.7y = 20$. Szorozzuk meg 10-zel az egyszerűbb számolásért:
$3x + 7y = 200$
Az első egyenletből $x = 40 - y$, ezt behelyettesítve:
$3(40 - y) + 7y = 200$
$120 - 3y + 7y = 200$
$4y = 80 \Rightarrow y = 20$
Ebből adódik, hogy $x = 40 - 20 = 20$. Mindkét oldatból pontosan 20 literre van szükség.
7
Egy ötvösnek van egy 600 ezrelékes és egy 900 ezrelékes finomságú ezüstötvözete. Ezekből szeretne előállítani 600 gramm 800 ezrelékes ötvözetet. Melyikből mennyit kell felhasználnia?
Jelölje a 600 ezrelékes tömegét $x$, a 900 ezrelékesét $y$ gramm.
Tömegegyenlet: $x + y = 600$
A tiszta ezüst tartalomra felírt egyenlet:
$0.6x + 0.9y = 0.8 \cdot 600$
Végezzük el a szorzást a jobb oldalon: $0.6x + 0.9y = 480$. Szorozzuk be az egyenletet 10-zel:
$6x + 9y = 4800$
Osszuk el 3-mal: $2x + 3y = 1600$
Mivel az első egyenletből $x = 600 - y$, behelyettesítve kapjuk:
$2(600 - y) + 3y = 1600$
$1200 - 2y + 3y = 1600 \Rightarrow y = 400$
Ekkor $x = 600 - 400 = 200$. Az ötvösnek 200 grammot kell felhasználnia a 600 ezrelékesből, és 400 grammot a 900 ezrelékesből.
8
Két város távolsága 300 km. Egyszerre indul el egymással szemben két autó, és pontosan 2 óra múlva találkoznak. Tudjuk, hogy az egyik autó sebessége 30 km/h-val nagyobb a másikénál. Mekkora a két autó átlagsebessége?
Jelölje a gyorsabb autó sebességét $v_1$, a lassabbikét $v_2$.
1) Mivel 2 óra alatt együttesen teszik meg a 300 km-es távolságot (közelednek egymáshoz): $2 \cdot v_1 + 2 \cdot v_2 = 300$, amit 2-vel osztva $v_1 + v_2 = 150$.
2) A sebességkülönbség: $v_1 - v_2 = 30$
Kaptunk egy egyszerű egyenletrendszert:
$v_1 + v_2 = 150$
$v_1 - v_2 = 30$
A két egyenletet összeadva: $2v_1 = 180 \Rightarrow v_1 = 90$ km/h.
Visszahelyettesítve: $90 + v_2 = 150 \Rightarrow v_2 = 60$ km/h. A két autó sebessége tehát 90 km/h és 60 km/h.
9
Egy kerékpáros és egy motoros ugyanabból a városból indul ugyanabba az irányba. A motoros 2 órával később indul, de sebessége 40 km/h-val nagyobb. A motoros a saját indulása után 1,5 órával éri utol a kerékpárost. Mekkora a két jármű sebessége?
Legyen a motoros sebessége $v_m$, a kerékpárosé $v_k$.
1) A sebességek közti összefüggés: $v_m = v_k + 40$
2) A találkozásig megtett út mindkettőjük számára azonos. A motoros 1,5 órát utazott, a kerékpáros viszont $1,5 + 2 = 3,5$ órát.
A megtett út egyenlősége alapján: $1.5 \cdot v_m = 3.5 \cdot v_k$
Helyettesítsük be $v_m$ értékét a második egyenletbe:
$1.5(v_k + 40) = 3.5 v_k$
$1.5 v_k + 60 = 3.5 v_k$
$60 = 2 v_k \Rightarrow v_k = 30$
Ebből a motoros sebessége $v_m = 30 + 40 = 70$. A kerékpáros 30 km/h-val, a motoros 70 km/h-val haladt.
10
Egy medencét két csövön keresztül lehet feltölteni. Ha mindkét cső nyitva van, a medence 6 óra alatt telik meg. Ha csak az első cső van nyitva 4 órán át, a második pedig 9 órán át, a medence szintén éppen megtelik. Mennyi idő alatt töltené fel a medencét külön-külön az egyik, illetve a másik cső?
Legyen az első cső töltési teljesítménye (egy óra alatt feltöltött rész) $x$, a másodiké $y$.
Az első feltétel alapján: $6x + 6y = 1$ (ahol az 1 a teljes medencét jelenti).
A második feltétel alapján: $4x + 9y = 1$
A két egyenlet jobb oldala egyenlő, tehát a bal oldalak is egyenlők:
$6x + 6y = 4x + 9y \Rightarrow 2x = 3y \Rightarrow x = 1.5y$
Helyettesítsük be ezt az első egyenletbe:
$6(1.5y) + 6y = 1 \Rightarrow 9y + 6y = 1 \Rightarrow 15y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{15}$
Ekkor $x = 1.5 \cdot \frac{1}{15} = \frac{1.5}{15} = \frac{1}{10}$.
Mivel $x = 1/10$, az első cső egyedül 10 óra alatt, $y = 1/15$ miatt a második cső egyedül 15 óra alatt töltené fel a medencét.
11
Egy munkát két munkás együtt 12 nap alatt fejez be. Miután 8 napig együtt dolgoztak, az egyik munkás megbetegedett, így a másiknak egyedül kellett befejeznie a hátralévő részt, amihez további 10 napra volt szüksége. Hány nap alatt végezték volna el a teljes munkát egyedül?
Jelölje az első munkás napi teljesítményét $p$, a másodikét (aki egyedül fejezte be) $q$. A teljes munka 1 egység.
A közös munkavégzés alapján: $12(p + q) = 1$, amiből $p + q = \frac{1}{12}$.
A második eseménysor alapján 8 napig dolgoztak együtt, majd a második még 10 napig:
$8(p + q) + 10q = 1$
Tudjuk, hogy az együttes teljesítmény $p + q = \frac{1}{12}$. Behelyettesítve a második egyenletbe:
$8 \cdot \left(\frac{1}{12}\right) + 10q = 1$
$\frac{2}{3} + 10q = 1$
$10q = \frac{1}{3} \Rightarrow q = \frac{1}{30}$
Ezután $p$ kiszámítása: $p = \frac{1}{12} - \frac{1}{30} = \frac{5}{60} - \frac{2}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$.
Az első munkás tehát egyedül 20 nap, a második pedig 30 nap alatt végezne a feladattal.
12
Egy motorcsónak a folyón lefelé haladva 4 óra alatt 72 km-t tesz meg. Felfelé (a sodrással szemben) haladva ugyanehhez a távolsághoz 6 órára van szüksége. Mekkora a motorcsónak sebessége állóvízben, és mekkora a folyó áramlási sebessége?
Legyen a motorcsónak saját (állóvízi) sebessége $v_c$, a folyó sodrási sebessége $v_f$.
Folyásiránnyal megegyezően a sebességek összeadódnak: $v_c + v_f = \frac{72}{4} = 18$ km/h.
Folyásiránnyal szemben a folyó fékezi a csónakot: $v_c - v_f = \frac{72}{6} = 12$ km/h.
Egyenletrendszerünk:
$v_c + v_f = 18$
$v_c - v_f = 12$
Összeadva a két egyenletet: $2v_c = 30 \Rightarrow v_c = 15$ km/h.
Visszahelyettesítve az elsőbe: $15 + v_f = 18 \Rightarrow v_f = 3$ km/h. A csónak sebessége 15 km/h, a folyóé 3 km/h.
13
Egy 120 méter hosszú és egy 80 méter hosszú vonat párhuzamos vágányokon halad állandó sebességgel. Ha egymással szemben haladnak, a találkozástól számítva 4 másodperc alatt haladnak el egymás mellett teljesen. Ha azonos irányba haladnak, a gyorsabb vonat 20 másodperc alatt előzi meg a lassabbat. Mekkora a vonatok sebessége méter per szekundumban?
Ahhoz, hogy teljesen elhaladjanak egymás mellett, relatíve meg kell tenniük a hosszuk összegét, azaz $120 + 80 = 200$ métert.
Jelölje a gyorsabb vonat sebességét $v_1$, a lassabbét $v_2$ (m/s).
Egymással szemben haladva a relatív sebességük összeadódik: $v_1 + v_2 = \frac{200}{4} = 50$ m/s.
Azonos irányba haladva a relatív sebességük a különbségük: $v_1 - v_2 = \frac{200}{20} = 10$ m/s.
A kapott lineáris egyenletrendszer:
$v_1 + v_2 = 50$
$v_1 - v_2 = 10$
Az egyenleteket összeadva $2v_1 = 60 \Rightarrow v_1 = 30$ m/s.
Visszahelyettesítve $30 + v_2 = 50 \Rightarrow v_2 = 20$ m/s. Tehát a sebességek 30 m/s és 20 m/s.
14
Két különböző edényben sóoldat van. Ha az első edényből 2 litert, a másodikból 3 litert veszünk és összekeverjük, 32%-os oldatot kapunk. Ha az elsőből veszünk 3 litert és a másodikból 2 litert, akkor 28%-os oldatot kapunk. Hány százalékos az oldat a két edényben külön-külön?
Legyen az első edény koncentrációja (tizedestörtként) $x$, a másodiké $y$.
Az első esetben az oldott anyag egyenlete (5 liter összesen): $2x + 3y = 5 \cdot 0.32 = 1.6$
A második esetben: $3x + 2y = 5 \cdot 0.28 = 1.4$
Egyenletrendszer:
1) $2x + 3y = 1.6$
2) $3x + 2y = 1.4$
A szimmetria miatt adjuk össze a két egyenletet: $5x + 5y = 3.0 \Rightarrow x + y = 0.6$
Vonjuk ki a másodikból az elsőt: $x - y = -0.2$
Most az új egyenletrendszert megoldva: $(x+y) + (x-y) = 0.6 - 0.2 \Rightarrow 2x = 0.4 \Rightarrow x = 0.2$.
Mivel $x + y = 0.6$, így $y = 0.4$. A koncentrációk tehát 20% és 40%.
15
Egy befektető két különböző kamatozású értékpapírba összesen 5 millió forintot fektetett. Az egyik évi 8%-os, a másik évi 12%-os hozamot biztosít. Egy év elteltével a portfólió teljes hozama 500 ezer forint volt. Mekkora összeget fektetett be az egyes értékpapírokba?
Jelölje a 8%-os kamatozású papírba fektetett összeget $x$, a 12%-osba fektetettet $y$ (forintban).
A befektetett tőke: $x + y = 5 000 000$
A realizált hozam (kamat): $0.08x + 0.12y = 500 000$
Szorozzuk be a második egyenletet 100-zal: $8x + 12y = 50 000 000$
Osszuk el 4-gyel: $2x + 3y = 12 500 000$
Az elsőből $x = 5 000 000 - y$, ezt beírva:
$2(5 000 000 - y) + 3y = 12 500 000$
$10 000 000 - 2y + 3y = 12 500 000$
$y = 2 500 000$
Ekkor $x = 5 000 000 - 2 500 000 = 2 500 000$. A befektető mindkét értékpapírba 2,5 - 2,5 millió forintot fektetett.
16
Egy téglalap kerülete 84 cm. Ha a hosszabbik oldalát 4 cm-rel csökkentjük, a rövidebbik oldalát pedig 3 cm-rel növeljük, egy négyzetet kapunk. Mekkorák az eredeti téglalap oldalai?
Jelölje a téglalap hosszabbik oldalát $a$, a rövidebbiket $b$.
A kerület: $2(a + b) = 84$, amiből $a + b = 42$.
A változtatás után négyzetet kapunk, tehát a módosított oldalak egyenlőek lesznek: $a - 4 = b + 3$
Rendezzük a második egyenletet: $a - b = 7$.
A rendszer:
$a + b = 42$
$a - b = 7$
Összeadva a két egyenletet: $2a = 49 \Rightarrow a = 24.5$ cm.
A rövidebbik oldal: $b = 42 - 24.5 = 17.5$ cm. A téglalap oldalai 24,5 cm és 17,5 cm.
17
Két szivattyú együtt 4 óra alatt ürít ki egy tartályt. Ha az első szivattyú 2 órát, a második pedig 3 órát működik, akkor a tartály térfogatának $\frac{2}{3}$ részét ürítik ki. Mennyi idő alatt ürítené ki a tartályt külön-külön a két szivattyú?
Jelölje az első szivattyú óránkénti teljesítményét $p$, a másodikét $q$ (tartály/óra). A teljes munka 1 tartály.
A közös munkára: $4(p + q) = 1$, azaz $p + q = \frac{1}{4}$.
A második feltételre: $2p + 3q = \frac{2}{3}$.
Megoldásként fejezzük ki $p$-t az elsőből: $p = \frac{1}{4} - q$. Behelyettesítve:
$2\left(\frac{1}{4} - q\right) + 3q = \frac{2}{3}$
$\frac{1}{2} - 2q + 3q = \frac{2}{3}$
$q = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$.
Ezután $p = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}$.
A teljesítmények reciproka adja az időt: Az első szivattyú 12 óra, a második 6 óra alatt ürítené ki a tartályt egyedül.
18
Egy háromjegyű szám középső számjegye 5. Ha az első és az utolsó számjegyet felcseréljük, egy olyan számot kapunk, amely 396-tal kisebb az eredetinél. Tudjuk továbbá, hogy az első és az utolsó számjegy összege pontosan 10. Melyik ez a háromjegyű szám?
Legyen a százasok helyén álló számjegy $x$, az egyesek helyén álló $y$. A tizes számjegy 5.
Az eredeti szám algebrai alakja: $100x + 50 + y$.
A felcserélt számjegyű szám: $100y + 50 + x$.
A feladat szerint a felcserélt szám 396-tal kisebb:
$(100x + 50 + y) - (100y + 50 + x) = 396$
$99x - 99y = 396$
Osztva 99-cel kapjuk: $x - y = 4$.
A második feltétel szerint az összegük 10: $x + y = 10$.
Az egyenleteket összeadva: $2x = 14 \Rightarrow x = 7$.
Visszahelyettesítve $7 + y = 10 \Rightarrow y = 3$.
A keresett szám tehát a 753. (Ellenőrzés: $753 - 357 = 396$, ami helyes).
19
Egy színházi előadásra kétféle jegyet árultak: a normál jegy 4500 Ft-ba, a prémium jegy 6000 Ft-ba került. Összesen 320 jegyet adtak el, és a jegyekből származó teljes bevétel 1 650 000 Ft volt. Hány darabot adtak el az egyes jegytípusokból?
Jelölje a normál jegyek számát $x$, a prémium jegyekét $y$.
Darabszámra vonatkozó egyenlet: $x + y = 320$
Bevételre vonatkozó egyenlet: $4500x + 6000y = 1 650 000$
Az egyszerűbb számolás érdekében a második egyenletet elosztjuk 1500-zal:
$3x + 4y = 1100$
Az első egyenletből kifejezve $x = 320 - y$. Ezt behelyettesítjük:
$3(320 - y) + 4y = 1100$
$960 - 3y + 4y = 1100$
$y = 1100 - 960 = 140$
Ezután $x = 320 - 140 = 180$. Tehát 180 darab normál és 140 darab prémium jegyet adtak el.
20
Kétféle ötvözetünk van, mindkettő rezet és cinket tartalmaz különböző arányban. Ha az elsőből 2 kg-ot és a másodikból 3 kg-ot olvasztunk össze, az új ötvözet 36% rezet fog tartalmazni. Ha mindkettőből azonos mennyiséget olvasztunk össze, akkor a kapott ötvözet 32% rezet tartalmaz. Hány százalék rezet tartalmaz a két eredeti ötvözet?
Jelölje az első ötvözet réztartalmát (tizedestört alakban) $x$, a másodikét $y$.
Az első keverésre (összesen 5 kg lesz):
$2x + 3y = 5 \cdot 0.36 = 1.8$
A második keverésre, ha mondjuk 1-1 kg-ot (összesen 2 kg-ot) olvasztunk egybe:
$1x + 1y = 2 \cdot 0.32 = 0.64$, amiből $x + y = 0.64$.
Fejezzük ki $x$-et a második egyenletből: $x = 0.64 - y$. Ezt tegyük be az elsőbe:
$2(0.64 - y) + 3y = 1.8$
$1.28 - 2y + 3y = 1.8$
$y = 1.8 - 1.28 = 0.52$
Visszahelyettesítve $x = 0.64 - 0.52 = 0.12$.
Az első ötvözet tehát 12%, a második pedig 52% rezet tartalmaz.