Paraméteres egyenletrendszerek

Egy kétismeretlenes lineáris egyenletrendszernek pontosan akkor van egyértelmű megoldása, ha a rendszer determinánsa nem nulla, azaz az együtthatók aránya nem egyenlő: $1/p \neq p/1$. Ebből következik, hogy $p^2 \neq 1$, tehát $p \neq 1$ és $p \neq -1$.

Megoldás nem létezik, ha az egyenesek párhuzamosak, de nem esnek egybe. Ehhez az együtthatók arányának egyeznie kell, de a konstansokéval nem: $1/p = p/1 \neq 2/2$. Az első egyenlőségből $p^2 = 1$, azaz $p = 1$ vagy $p = -1$. Ha $p = 1$, akkor $1 = 1$, ami végtelen sok megoldást jelent. Ha $p = -1$, akkor $-1 \neq 1$ teljesül, tehát $p = -1$ esetén nincs megoldás.

Végtelen sok megoldás akkor van, ha a két egyenlet ugyanazt az egyenest írja le. Ehhez az összes együttható és a konstansok arányának meg kell egyeznie: $1/p = p/1 = 2/2$. Ebből következik, hogy $1/p = 1$, azaz $p = 1$. Ekkor mindkét egyenlet $x + y = 2$ alakú lesz.

Számítsuk ki a rendszer determinánsát: $D = a \cdot a - (-2) \cdot 2 = a^2 + 4$. Mivel $a^2 \geq 0$ minden valós $a$ esetén, így $D = a^2 + 4 \geq 4$, tehát a determináns sosem lehet nulla. Emiatt az egyenletrendszernek minden valós $a$ paraméter esetén pontosan egy megoldása van.

A két egyenlet összeadásával kapjuk: $2x = p^2 + p$, amiből $x = \frac{p^2 + p}{2}$. A második egyenlet kivonásával az elsőből: $2y = p - p^2$, amiből $y = \frac{p - p^2}{2}$. A megoldás minden valós $p$ esetén létezik és egyértelmű.

A rendszer determinánsa: $D = m^2 - 1$. Egyértelmű megoldás van, ha $m \neq \pm 1$. Cramer-szabállyal: $D_x = m^2 - m = m(m-1)$, így $x = \frac{m(m-1)}{(m-1)(m+1)} = \frac{m}{m+1}$. Ugyanígy $y = \frac{m}{m+1}$. A feltétel: $\frac{m}{m+1} > 0$. Ez akkor teljesül, ha a számláló és a nevező azonos előjelű. Eredményként adódik: $m \in (-\infty; -1) \cup (0; \infty)$, és mivel $m \neq 1$, a végső tartomány: $m \in (-\infty; -1) \cup (0; 1) \cup (1; \infty)$.

Végtelen sok megoldás esetén a két egyenlet együtthatóinak és konstansainak aránya megegyezik: $\frac{3}{6} = \frac{a}{4} = \frac{5}{b}$. A $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ arányból következik, hogy $\frac{a}{4} = \frac{1}{2}$, amiből $a = 2$. Továbbá $\frac{5}{b} = \frac{1}{2}$, amiből $b = 10$.

Megoldhatatlanság feltétele, hogy az együtthatók determinánsa nulla legyen, de a konstansokat tartalmazó (például $x$-hez tartozó) determináns ne. $D = p^2 - 6 = 0 \implies p = \sqrt{6}$ vagy $p = -\sqrt{6}$. Ellenőrizzük a konstansok arányát: $1 / -1 = -1$. Ha $p = \sqrt{6}$, az $x$ együtthatóinak aránya $\frac{\sqrt{6}}{3}$, ami nem egyenlő $-1$-gyel (nincs megoldás). Ha $p = -\sqrt{6}$, az arány $\frac{-\sqrt{6}}{3} \neq -1$ (nincs megoldás). Tehát mindkét érték esetén, $p \in \{-\sqrt{6}, \sqrt{6}\}$, a rendszer megoldhatatlan.

Az együtthatók arányának egyenlőnek kell lennie, de ez nem egyezhet meg a konstansok arányával. Azaz: $\frac{1}{4} = \frac{2}{p} \neq \frac{3}{q}$. Az első egyenlőségből $p = 8$. A második részletből $\frac{1}{4} \neq \frac{3}{q}$, amiből $q \neq 12$. A feltételek tehát: $p = 8$ és $q \neq 12$.

Mivel $a \neq \pm 1$, a determináns $D = a^2 - 1 \neq 0$, egyértelmű megoldás van. Alkalmazzuk az egyenlő együtthatók módszerét: a második egyenletből $x = 1 - ay$. Ezt beírva az elsőbe: $a(1 - ay) + y = a^2 \implies a - a^2y + y = a^2 \implies y(1 - a^2) = a^2 - a$. Ebből $y = \frac{a(a - 1)}{-(a - 1)(a + 1)} = \frac{-a}{a + 1}$. Visszahelyettesítve: $x = 1 - a\left(\frac{-a}{a+1}\right) = 1 + \frac{a^2}{a+1} = \frac{a^2+a+1}{a+1}$.

A determináns $D = c^2 - (-1) = c^2 + 1$, ami minden valós $c$-re pozitív, így a megoldás egyértelmű. Cramer-szabállyal: $D_x = 2c - (-3) = 2c + 3$, $D_y = 3c - 2$. Így $x = \frac{2c+3}{c^2+1}$ és $y = \frac{3c-2}{c^2+1}$. Az összegük: $x + y = \frac{5c+1}{c^2+1}$. Mivel a nevező pozitív, a tört pontosan akkor pozitív, ha a számláló is az: $5c + 1 > 0$, azaz $c > -0,2$.

A determináns: $D = (k-1)^2 - 1 = k^2 - 2k = k(k-2)$. Ez $k=0$ és $k=2$ esetén nulla. Vizsgáljuk meg ezeket külön. Ha $k=0$, a rendszer: $-x+y=0$ és $x-y=1$. A két egyenlet ellentmondó (hiszen $0 \neq 1$), tehát nincs megoldás. Ha $k=2$, a rendszer: $x+y=2$ és $x+y=1$, ami szintén ellentmondás. A megoldás tehát $k \in \{0; 2\}$.

Vegyük észre, hogy a bal oldalon a második egyenlet együtthatói pontosan a $-2$-szeresei az elsőnek. Ahhoz, hogy az egyenletek ne mondjanak ellent egymásnak, a jobb oldalon is ugyanezen aránynak kell fennállnia. Vagyis $q = -2p$, amiből átrendezve a $2p + q = 0$ feltételt kapjuk. (Ebben az esetben végtelen sok megoldás lesz).

A rendszer determinánsa: $D = 1 \cdot (-3m) - m \cdot m = -3m - m^2 = -m(m+3)$. A rendszernek akkor és csak akkor van egyértelmű megoldása, ha $D \neq 0$, azaz $m \neq 0$ és $m \neq -3$.

Vonjuk ki az első egyenletből a másodikat: $2y = a - b \implies y = \frac{a-b}{2}$. Vonjuk ki az elsőből a harmadikat: $2z = a - c \implies z = \frac{a-c}{2}$. Helyettesítsük vissza ezeket az első egyenletbe: $x + \frac{a-b}{2} + \frac{a-c}{2} = a$, amiből közös nevezőre hozva és rendezve $x = a - \frac{2a-b-c}{2} = \frac{b+c}{2}$ adódik.

A determináns $D = 1 - t^2 \neq 0$. Kiszámítjuk $D_x$ és $D_y$ értékét: $D_x = t \cdot 1 - t \cdot t^2 = t - t^3 = t(1 - t^2)$, így $x = t$. $D_y = 1 \cdot t^2 - t \cdot t = 0$, így $y = 0$. A megoldás minden $t \neq \pm 1$ esetén $(t; 0)$. A feltétel szerint $x + y > 0 \implies t + 0 > 0$, tehát a megoldás $t > 0$, de $t \neq 1$.

Az első egyenletet kettővel szorozva: $2x + 2y = 2p$. A bal oldalak megegyeznek, így a jobb oldalaknak is egyenlőnek kell lenniük ahhoz, hogy a rendszer ne legyen ellentmondásos: $2p = p^2 - 3$. Ebből a másodfokú egyenlet: $p^2 - 2p - 3 = 0$. A megoldóképlettel kapott gyökök: $p = 3$ és $p = -1$. Ezekben az esetekben a rendszernek végtelen sok megoldása van. Más értékekre a rendszer ellentmondásos.

Ha $m = 2$: a rendszer $x + 2y = 2$ és $2x + 4y = 4$. A második egyenlet az első kétszerese, így végtelen sok megoldás van.
Ha $m = -2$: a rendszer $x - 2y = -2$ és $-2x + 4y = 4$. A második egyenlet itt is az első $(-2)$-szerese, így ekkor is végtelen sok megoldás létezik. (Megjegyzés: Minden más $m$ értékre $D = 4 - m^2 \neq 0$, tehát egyetlen megoldás van).

Egybeeső egyenesek esetén az együtthatók és a konstansok aránya is megegyezik: $\frac{a}{1} = \frac{1}{a} = \frac{a}{a}$. Az utolsó tagból látjuk, hogy ez csak $a \neq 0$ esetén értelmezhető, és ott 1 az értéke. Ekkor $a = 1/a = 1 \implies a^2 = 1 \implies a = 1$ vagy $a = -1$. Ellenőrizzük az $a = -1$ esetet: $-1/1 = 1/-1 \neq -1/-1$, tehát ott párhuzamosak, de nem egybeesők. Az egyetlen helyes megoldás $a = 1$.

Egyértelmű megoldáshoz a rendszer determinánsának nullától különbözőnek kell lennie. Kiszámítjuk a $3 \times 3$-as determinánst a Sarrus-szabállyal: $D = 1 \cdot (1 \cdot 1 - a \cdot (-1)) - a \cdot (-1 \cdot 1 - a \cdot a) + (-1) \cdot (-1 \cdot (-1) - 1 \cdot a) = 1(1+a) - a(-1-a^2) - (1-a) = 1 + a + a + a^3 - 1 + a = a^3 + 3a$. A feltétel $D \neq 0$, azaz $a(a^2 + 3) \neq 0$. Mivel $a^2 + 3 > 0$ minden valós számra, így a feltétel egyszerűen: $a \neq 0$.