Az egyenlő együtthatók módszere az egyik legelegánsabb és leggyorsabb technika a lineáris egyenletrendszerek megoldására. Lényege, hogy az egyenletek megfelelő konstanssal történő beszorzásával elérjük, hogy az egyik ismeretlen együtthatói egyenlők (vagy egymás ellentettjei) legyenek, így az egyenletek kivonásával vagy összeadásával az adott változó eliminálható. Ebben a modulban az alapoktól haladunk a bonyolultabb, emelt szintű érettségin is előforduló paraméteres, törtes és többismeretlenes rendszerekig.
1
Oldja meg a következő egyenletrendszert a valós számpárok halmazán:
$$ \begin{cases} x + y = 8 \\ x - y = 2 \end{cases} $$
A két egyenletet összeadva az $y$ változó azonnal kiesik (eliminálódik):
$$ 2x = 10 \implies x = 5 $$
Az $x$ értékét visszahelyettesítve az első egyenletbe kapjuk, hogy:
$$ 5 + y = 8 \implies y = 3 $$
A megoldás: $(5; 3)$
2
Keresse meg az alábbi egyenletrendszer megoldását a valós számok halmazán:
$$ \begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - y = 10 \end{cases} $$
Szorozzuk meg a második egyenletet $3$-mal, hogy az $y$ együtthatója az első egyenletbelivel ellentett legyen:
$$ 12x - 3y = 30 $$
Adjuk hozzá az első egyenletet ($2x + 3y = 12$):
$$ 14x = 42 \implies x = 3 $$
Ezt visszahelyettesítve az elsőbe kapjuk:
$$ 2(3) + 3y = 12 \implies 3y = 6 \implies y = 2 $$
A megoldás: $(3; 2)$
3
Határozza meg a megoldást:
$$ \begin{cases} 3x + 5y = 11 \\ 2x - 3y = 1 \end{cases} $$
Elimináljuk az $y$ változót. Szorozzuk meg az első egyenletet $3$-mal, a másodikat $5$-tel:
$$ \begin{cases} 9x + 15y = 33 \\ 10x - 15y = 5 \end{cases} $$
Összeadva a két egyenletet:
$$ 19x = 38 \implies x = 2 $$
Visszahelyettesítve az eredeti második egyenletbe:
$$ 2(2) - 3y = 1 \implies 4 - 3y = 1 \implies 3y = 3 \implies y = 1 $$
A megoldás: $(2; 1)$
4
Oldja meg a következő egyenletrendszert:
$$ \begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4 \\[6pt] \frac{x}{4} - \frac{y}{2} = -2 \end{cases} $$
Először küszöböljük ki a törteket. Szorozzuk be az elsőt a közös nevezővel ($6$), a másodikat $4$-gyel:
$$ \begin{cases} 3x + 2y = 24 \\ x - 2y = -8 \end{cases} $$
A kapott rendszert összeadva az $y$ rögtön kiesik:
$$ 4x = 16 \implies x = 4 $$
Visszahelyettesítve a második, egyszerűsített egyenletbe:
$$ 4 - 2y = -8 \implies -2y = -12 \implies y = 6 $$
A megoldás: $(4; 6)$
5
Határozza meg az egyenletrendszer megoldáshalmazát:
$$ \begin{cases} 5y - 2x = 14 \\ 3x + 4y = 25 \end{cases} $$
Rendezzük az egyenleteket úgy, hogy a változók azonos sorrendben legyenek:
$$ \begin{cases} -2x + 5y = 14 \\ 3x + 4y = 25 \end{cases} $$
Szorozzuk az elsőt $3$-mal, a másodikat $2$-vel:
$$ \begin{cases} -6x + 15y = 42 \\ 6x + 8y = 50 \end{cases} $$
Összeadva őket:
$$ 23y = 92 \implies y = 4 $$
Visszahelyettesítve a másodikba:
$$ 3x + 16 = 25 \implies 3x = 9 \implies x = 3 $$
A megoldás: $(3; 4)$
6
Vizsgálja meg a következő egyenletrendszer megoldhatóságát: $6x - 9y = 15$ és $4x - 6y = 10$.
Próbáljuk meg eliminálni az $x$-et. Szorozzuk az első egyenletet $2$-vel, kapjuk: $12x - 18y = 30$. Szorozzuk a másodikat $3$-mal, kapjuk: $12x - 18y = 30$. Ha kivonjuk a két egyenletet egymásból, a $0 = 0$ azonosság adódik. Ez azt jelenti, hogy a két egyenlet algebrailag ekvivalens, és ugyanazt az egyenest írja le a koordináta-rendszerben. Végtelen sok megoldás van, a megoldáshalmaz felírható például így: $\left\{\left(x; \frac{2x-5}{3}\right) \mid x \in \mathbb{R}\right\}$.
7
Keresse meg a megoldást:
$$ \begin{cases} 0,2x + 0,3y = 1,2 \\ 0,5x - 0,2y = 1,1 \end{cases} $$
Oldja meg a valós számok halmazán:
$$ \begin{cases} 2023x - 2024y = -1 \\ 2024x - 2023y = 1 \end{cases} $$
A magas együtthatók miatt célszerű trükköt alkalmazni az azonnali beszorzás helyett. Adjuk össze a két egyenletet:
$$ 4047x - 4047y = 0 \implies x = y $$
Helyettesítsük ezt vissza az első egyenletbe:
$$ 2023x - 2024x = -1 \implies -x = -1 \implies x = 1 $$
Mivel $x=y$, így $y=1$.
A megoldás: $(1; 1)$
9
Oldja meg az egyenletrendszert:
$$ \begin{cases} x \sqrt{2} - y \sqrt{3} = 1 \\ x \sqrt{8} - y \sqrt{12} = 5 \end{cases} $$
Vegyük észre, hogy a gyökös kifejezések egyszerűsíthetők:
$$ \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \quad \text{és} \quad \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $$
A második egyenlet így írható:
$$ 2x\sqrt{2} - 2y\sqrt{3} = 5 \implies 2(x\sqrt{2} - y\sqrt{3}) = 5 $$
Az első egyenlet szerint viszont $x\sqrt{2} - y\sqrt{3} = 1$. Ezt behelyettesítve a második egyenletbe:
$$ 2(1) = 5 $$
Ez ellentmondás. Az egyenletrendszernek nincs valós megoldása (a két egyenest reprezentáló vonal párhuzamos).
10
Keresse meg a megoldást:
$$ \begin{cases} \frac{x-1}{3} + \frac{y+2}{4} = 3 \\[6pt] \frac{x+2}{2} - \frac{y-1}{3} = 2 \end{cases} $$
Oldja meg a háromismeretlenes egyenletrendszert:
$$ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases} $$
Válasszuk ki a $z$ változó eliminálását. Adjuk össze az első és a harmadik egyenletet:
$$ (x+y+z) + (x+2y-z) = 6 + 2 \implies 2x + 3y = 8 $$
Ezután adjuk össze a második és a harmadik egyenletet:
$$ (2x-y+z) + (x+2y-z) = 3 + 2 \implies 3x + y = 5 $$
Kaptunk egy kétismeretlenes rendszert:
$$ \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 3x + y = 5 \end{cases} $$
Szorozzuk a másodikat $3$-mal: $9x+3y=15$. Vonjuk ki belőle az elsőt:
$$ (9x+3y) - (2x+3y) = 15 - 8 \implies 7x = 7 \implies x = 1 $$
Visszahelyettesítve:
$$ 3(1) + y = 5 \implies y = 2 $$
Az első egyenletbe helyettesítve az eredeti rendszerben:
$$ 1 + 2 + z = 6 \implies z = 3 $$
A megoldás: $(1; 2; 3)$
12
Melyik $(x; y; z)$ számhármas elégíti ki az alábbi egyenletrendszert:
$$ \begin{cases} x + y = 5 \\ y + z = 7 \\ x + z = 8 \end{cases} $$
Az ilyen ciklikus rendszereknél a leggyorsabb módszer az egyenletek összeadása. Adjuk össze mindhármat:
$$ 2x + 2y + 2z = 20 $$
Osszuk el $2$-vel:
$$ x + y + z = 10 $$
Ebből az összegből az eredeti egyenleteket rendre kivonva megkapjuk a változókat:
$$ z = (x+y+z) - (x+y) = 10 - 5 = 5 $$
$$ x = (x+y+z) - (y+z) = 10 - 7 = 3 $$
$$ y = (x+y+z) - (x+z) = 10 - 8 = 2 $$
A megoldás: $(3; 2; 5)$
13
Határozza meg azt a valós $p$ paramétert, amelyre az alábbi egyenletrendszernek nincs megoldása:
$$ \begin{cases} px + 3y = 6 \\ 4x + (p+1)y = 10 \end{cases} $$
Kétismeretlenes lineáris egyenletrendszernek akkor nincs megoldása (vagy akkor van végtelen sok), ha az együtthatók aránya megegyezik, vagyis a determinánsuk nulla:
$$ \frac{p}{4} = \frac{3}{p+1} $$
Ebből keresztbe szorozva:
$$ p(p+1) = 12 \implies p^2 + p - 12 = 0 $$
Ennek másodfokú egyenletnek a gyökei $p = 3$ és $p = -4$. Vizsgáljuk meg a két esetet az állandók szempontjából.
Ha $p=3$: az egyenletek $3x+3y=6$ (azaz $x+y=2$) és $4x+4y=10$ (azaz $x+y=2,5$). Ellentmondás, tehát itt nincs megoldás.
Ha $p=-4$: $-4x+3y=6$ és $4x-3y=10$. Összeadva $0=16$, ez is ellentmondás, itt sincs megoldás.
A keresett értékek: $p \in \{-4; 3\}$
14
Oldja meg a következő rendszert, ahol $x \neq 0$ és $y \neq 0$:
$$ \begin{cases} \frac{4}{x} + \frac{3}{y} = 1 \\[6pt] \frac{8}{x} - \frac{9}{y} = -3 \end{cases} $$
A változók a nevezőben vannak, így célszerű új ismeretleneket bevezetni: legyen $a = \frac{1}{x}$ és $b = \frac{1}{y}$. Ezzel egy lineáris rendszert kapunk:
$$ \begin{cases} 4a + 3b = 1 \\ 8a - 9b = -3 \end{cases} $$
Szorozzuk be az első egyenletet $3$-mal:
$$ 12a + 9b = 3 $$
Adjuk hozzá a második egyenlethez:
$$ 20a = 0 \implies a = 0 $$
Visszatérve az eredeti változóra:
$$ a = \frac{1}{x} = 0 $$
Azonban nincs olyan valós szám, amelynek a reciproka nulla lenne. Tehát az eredeti egyenletrendszernek nincs valós megoldása.
15
Oldja meg a valós számhármasok halmazán:
$$ \begin{cases} 2x - 3y + z = 5 \\ x + 2y - 3z = -4 \\ 3x - y - 2z = 1 \end{cases} $$
Próbáljunk egyenleteket összeadni, hátha kapunk valamilyen összefüggést. Ha összeadjuk az első két egyenletet:
$$ (2x+x) + (-3y+2y) + (z-3z) = 5 - 4 \implies 3x - y - 2z = 1 $$
Ez teljesen megegyezik a harmadik egyenlettel. Ez azt jelenti, hogy a harmadik egyenlet nem hordoz új információt, a rendszer határozatlan, és végtelen sok megoldása van.
Fejezzük ki $x$-et és $y$-t a $z$ paraméterrel. Vonjuk ki az elsőből a második kétszeresét:
$$ (2x-3y+z) - 2(x+2y-3z) = 5 - 2(-4) \implies -7y + 7z = 13 \implies y = z - \frac{13}{7} $$
Fejezzük ki $x$-et a másodikból:
$$ x = -2y + 3z - 4 = -2\left(z - \frac{13}{7}\right) + 3z - 4 = z - \frac{2}{7} $$
A megoldáshalmaz:
$$ \left\{\left(z - \frac{2}{7}; z - \frac{13}{7}; z\right) \mid z \in \mathbb{R}\right\} $$
16
Legyen $a$ valós paraméter. Oldja meg az $x, y$ ismeretlenekre:
$$ \begin{cases} ax + y = a^2 \\ x + ay = 1 \end{cases} $$
Szorozzuk be a második egyenletet $a$-val:
$$ ax + a^2y = a $$
Vonjuk ki ebből az elsőt:
$$ (ax + a^2y) - (ax + y) = a - a^2 \implies (a^2-1)y = a(1-a) $$
Ezt szorzattá alakítva:
$$ (a-1)(a+1)y = -a(a-1) $$
Vizsgáljuk meg az eseteket:
1. Eset ($a \neq 1$ és $a \neq -1$): Oszthatunk az együtthatóval:
$$ y = \frac{-a(a-1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{-a}{a+1} $$
Ekkor $x = 1 - ay = 1 - a\left(\frac{-a}{a+1}\right) = \frac{a+1+a^2}{a+1}$. A megoldás egyértelmű.
2. Eset ($a = 1$): Az egyenletek: $x+y=1$ és $x+y=1$. Végtelen sok megoldás van: $(x; 1-x)$.
3. Eset ($a = -1$): Az egyenletek: $-x+y=1$ és $x-y=1$. Összeadva $0=2$ adódik, tehát nincs megoldás.
17
Oldja meg az alábbi négyismeretlenes rendszert:
$$ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ y + z + w = 9 \\ z + w + x = 8 \\ w + x + y = 7 \end{cases} $$
Ismét egy szimmetrikus szerkezetet figyelhetünk meg. Adjuk össze a négy egyenletet. Mindegyik változó pontosan $3$-szor szerepel a bal oldalon, így:
$$ 3(x+y+z+w) = 6 + 9 + 8 + 7 = 30 $$
Amiből osztás után az adódik, hogy:
$$ x+y+z+w = 10 $$
Ebből a teljes összegből az eredeti egyenleteket rendre kivonva nagyon könnyen megkapjuk a változókat:
$$ w = (x+y+z+w) - (x+y+z) = 10 - 6 = 4 $$
Hasonlóan:
$$ x = 10 - 9 = 1 $$
$$ y = 10 - 8 = 2 $$
$$ z = 10 - 7 = 3 $$
A megoldás: $(1; 2; 3; 4)$
18
Keresse meg az összes valós $(x; y)$ számpárt, amely kielégíti az egyenletrendszert:
$$ \begin{cases} (x+1)^2 - x^2 + 2y = 10 \\ (y-1)^2 - y^2 + 3x = 1 \end{cases} $$
Bár másodfokúnak tűnik, bontsuk fel a zárójeleket a nevezetes azonosságok segítségével. Az első egyenlet:
$$ x^2+2x+1 - x^2 + 2y = 10 \implies 2x + 2y = 9 $$
A második egyenlet:
$$ y^2-2y+1 - y^2 + 3x = 1 \implies 3x - 2y = 0 $$
Most adjuk össze a két leegyszerűsített egyenletet:
$$ (2x+2y) + (3x-2y) = 9 + 0 \implies 5x = 9 \implies x = 1,8 $$
Visszahelyettesítve a másodikba:
$$ 3(1,8) - 2y = 0 \implies 5,4 = 2y \implies y = 2,7 $$
A megoldás: $(1,8; 2,7)$
19
Melyik valós $x$ és $y$ értékekre igaz:
$$ \begin{cases} 7x - 4y = 17 \\ 3x + 5y = 14 \end{cases} $$
Egyenlítsük ki az $y$ együtthatóit: szorozzuk az első egyenletet $5$-tel, a másodikat $4$-gyel:
$$ \begin{cases} 35x - 20y = 85 \\ 12x + 20y = 56 \end{cases} $$
Adjuk össze a két egyenletet:
$$ 47x = 141 \implies x = 3 $$
Visszahelyettesítve a második egyenletbe:
$$ 3(3) + 5y = 14 \implies 9 + 5y = 14 \implies y = 1 $$
A megoldás: $(3; 1)$
20
Oldja meg a következő rendszert:
$$ \begin{cases} \frac{2x+3y}{5} - \frac{x-y}{2} = 1 \\[6pt] \frac{x+2y}{3} + \frac{3x-y}{4} = \frac{3}{2} \end{cases} $$
Tüntessük el a törteket! Szorozzuk az első egyenletet $10$-zel:
$$ 2(2x+3y) - 5(x-y) = 10 \implies 4x + 6y - 5x + 5y = 10 \implies -x + 11y = 10 $$
Szorozzuk a második egyenletet $12$-vel:
$$ 4(x+2y) + 3(3x-y) = 12 \cdot 1,5 \implies 4x + 8y + 9x - 3y = 18 \implies 13x + 5y = 18 $$
Most alkalmazzuk az egyenlő együtthatók módszerét az így kapott rendszerre:
$$ \begin{cases} -x + 11y = 10 \\ 13x + 5y = 18 \end{cases} $$
Szorozzuk meg az első egyenletet $13$-mal:
$$ -13x + 143y = 130 $$
Adjuk ezt hozzá a másodikhoz ($13x + 5y = 18$). Az $x$ kiesik:
$$ 148y = 148 \implies y = 1 $$
Visszahelyettesítve az első egyszerűbb egyenletbe:
$$ -x + 11(1) = 10 \implies -x = -1 \implies x = 1 $$
A megoldás: $(1; 1)$