Behelyettesítő módszer

Fejezzük ki $x$-et a második egyenletből: $x = y + 1$.
Helyettesítsük be ezt az első egyenletbe:
$$ (y + 1) + y = 5 $$ $$ 2y + 1 = 5 $$ $$ 2y = 4 \implies y = 2 $$
Visszahelyettesítve az $x$ kifejezésébe:
$$ x = 2 + 1 = 3 $$
A megoldás tehát a $(3; 2)$ számpár.

Célszerű az első egyenletből az $y$-t kifejezni, mivel annak együtthatója 1: $y = 7 - 2x$.
Helyettesítsük be ezt a második egyenletbe:
$$ 3x - 2(7 - 2x) = 0 $$ $$ 3x - 14 + 4x = 0 $$ $$ 7x = 14 \implies x = 2 $$
Visszahelyettesítve $y$-ba:
$$ y = 7 - 2 \cdot 2 = 3 $$
A rendszer megoldása a $(2; 3)$ számpár.

Az első egyenletből fejezzük ki az $x$-et: $x = 3y - 5$.
Helyettesítsük be a második egyenletbe:
$$ 4(3y - 5) + 2y = 8 $$ $$ 12y - 20 + 2y = 8 $$ $$ 14y = 28 \implies y = 2 $$
Visszahelyettesítve az $x$ kifejezésébe:
$$ x = 3 \cdot 2 - 5 = 1 $$
A megoldás az $(1; 2)$ számpár.

A második egyenletből fejezzük ki $y$-t: $y = 2x - 3$.
Helyettesítsük ezt be az első egyenletbe:
$$ 3x + 4(2x - 3) = 10 $$ $$ 3x + 8x - 12 = 10 $$ $$ 11x = 22 \implies x = 2 $$
Ezt követően kiszámítjuk az $y$ értékét:
$$ y = 2 \cdot 2 - 3 = 1 $$
A keresett számpár a $(2; 1)$.

Kifejezzük az $x$-et a második egyenletből, hogy elkerüljük a törteket: $x = 13 - 3y$.
Behelyettesítjük az első egyenletbe:
$$ 5(13 - 3y) - 2y = 14 $$ $$ 65 - 15y - 2y = 14 $$ $$ -17y = -51 \implies y = 3 $$
Visszahelyettesítve $x$-be:
$$ x = 13 - 3 \cdot 3 = 4 $$
A megoldás a $(4; 3)$ számpár.

Kifejezzük az $x$-et a második egyenletből: $x = 5 + \frac{y}{3}$.
Behelyettesítjük az első egyenletbe:
$$ \frac{5 + \frac{y}{3}}{2} + y = 4 $$ $$ \frac{5}{2} + \frac{y}{6} + y = 4 $$ Szorozzuk be az egyenlet mindkét oldalát 6-tal:
$$ 15 + y + 6y = 24 $$ $$ 7y = 9 \implies y = \frac{9}{7} $$
Most kiszámítjuk $x$-et:
$$ x = 5 + \frac{\frac{9}{7}}{3} = 5 + \frac{3}{7} = \frac{38}{7} $$
A megoldás a $(\frac{38}{7}; \frac{9}{7})$.

Kifejezzük $x$-et a második egyenletből: $x = 1.6 + 0.1y$.
Helyettesítsük be az első egyenletbe:
$$ 0.2(1.6 + 0.1y) + 0.5y = 2.4 $$ $$ 0.32 + 0.02y + 0.5y = 2.4 $$ $$ 0.52y = 2.08 $$ Osztva 0.52-vel:
$$ y = 4 $$
Visszahelyettesítve $x$-be:
$$ x = 1.6 + 0.1 \cdot 4 = 1.6 + 0.4 = 2 $$
A keresett megoldás a $(2; 4)$.

A második egyenletből az $y$ könnyen kifejezhető: $y = 3x - 11$.
Ezt az első egyenletbe helyettesítjük:
$$ 4x + 5(3x - 11) = 2 $$ $$ 4x + 15x - 55 = 2 $$ $$ 19x = 57 \implies x = 3 $$
Kiszámoljuk az $y$ értékét:
$$ y = 3 \cdot 3 - 11 = 9 - 11 = -2 $$
A megoldás a $(3; -2)$ számpár.

Fejezzük ki $x$-et a második egyenletből: $x = 2y - 5$.
Helyettesítsük ezt az első egyenletbe:
$$ \frac{(2y - 5) - 1}{2} + \frac{y + 1}{3} = 4 $$ $$ \frac{2y - 6}{2} + \frac{y + 1}{3} = 4 $$ Egyszerűsítsük az első törtet:
$$ (y - 3) + \frac{y + 1}{3} = 4 $$ Szorozzunk be 3-mal:
$$ 3y - 9 + y + 1 = 12 $$ $$ 4y - 8 = 12 $$ $$ 4y = 20 \implies y = 5 $$
Helyettesítsük vissza az $x$ kifejezésébe:
$$ x = 2 \cdot 5 - 5 = 5 $$
A megoldás az $(5; 5)$ számpár.

Bár tisztán lineáris, az együtthatók miatt érdemes részleges kifejezést alkalmazni. Az első egyenletből fejezzük ki a $3y$-t:
$$ 3y = 7x - 15 $$
A második egyenletben a $6y$ felírható úgy, mint $2 \cdot (3y)$. Helyettesítsük be ide a kifejezést:
$$ 5x + 2(7x - 15) = 27 $$ $$ 5x + 14x - 30 = 27 $$ $$ 19x = 57 \implies x = 3 $$
A $y$ kiszámításához használjuk az előző kifejezést:
$$ 3y = 7 \cdot 3 - 15 = 21 - 15 = 6 \implies y = 2 $$
Az egyetlen valós megoldás a $(3; 2)$.

Fejezzük ki $y$-t az első egyenletből: $y = 2x - 4$.
Helyettesítsük ezt be a második egyenletbe:
$$ 4x - 2(2x - 4) = 5 $$ $$ 4x - 4x + 8 = 5 $$ $$ 8 = 5 $$
Mivel nyilvánvaló ellentmondásra jutottunk ($8 \neq 5$), az egyenletrendszernek nincs megoldása. A két egyenlet párhuzamos egyeneseket ír le.

Kifejezhetjük az $y$-t az első egyenletből:
$$ 2y = 6 - 3x \implies y = \frac{6 - 3x}{2} $$
Helyettesítsük be a második egyenletbe:
$$ 6x + 4\left(\frac{6 - 3x}{2}\right) = 12 $$ $$ 6x + 2(6 - 3x) = 12 $$ $$ 6x + 12 - 6x = 12 $$ $$ 12 = 12 $$
Mivel azonosságot kaptunk, ez azt jelenti, hogy az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van (a két egyenes egybeesik). Minden $(x; \frac{6-3x}{2})$ alakú számpár megoldás, ahol $x \in \mathbb{R}$.

Fejezzük ki az $x$-et az első egyenletből: $x = 10 - 4y$.
Ezt helyettesítjük be a második egyenletbe:
$$ -2(10 - 4y) - 8y = -20 $$ $$ -20 + 8y - 8y = -20 $$ $$ -20 = -20 $$
Az eredmény ismét egy logikai azonosság, ami azt jelenti, hogy végtelen sok megoldás létezik. A megoldáshalmaz az összes $(10 - 4y; y)$ alakú pont, ahol $y \in \mathbb{R}$.

A harmadik egyenletből gyorsan kifejezhetjük a $z$-t:
$$ z = x + y $$
Helyettesítsük be ezt a $z$-t az első egyenletbe:
$$ x + y + (x + y) = 6 \implies 2x + 2y = 6 \implies x + y = 3 $$
Ebből rögtön adódik, hogy $z = 3$.
Helyettesítsük be a $z=3$ értéket a második egyenletbe:
$$ x - y + 3 = 2 \implies x - y = -1 $$
Ezzel egy klasszikus kétismeretlenes rendszerhez jutottunk: $x + y = 3$ és $x - y = -1$.
Az elsőből kifejezve $x = 3 - y$. Beírva a másodikba:
$$ (3 - y) - y = -1 \implies 3 - 2y = -1 \implies 2y = 4 \implies y = 2 $$
Ekkor $x = 3 - 2 = 1$.
A végső megoldáshármas: $(1; 2; 3)$.

Lépésről lépésre haladjunk. Az első egyenletből kifejezhetjük az $x$-et:
$$ x = y + 2 $$
Helyettesítsük ezt be a harmadik egyenletbe:
$$ (y + 2) - z = 1 \implies y - z = -1 $$
Most vegyük a még érintetlen második egyenletet: $y + z = 5$. Ebből fejezzük ki $y$-t: $y = 5 - z$.
Helyettesítsük be a kapott egyenletbe ($y - z = -1$):
$$ (5 - z) - z = -1 $$ $$ 5 - 2z = -1 \implies 2z = 6 \implies z = 3 $$
A kapott $z$ értékkel visszaszámoljuk a többit:
$$ y = 5 - 3 = 2 $$ $$ x = 2 + 2 = 4 $$
A megoldás tehát $(4; 2; 3)$.

Fejezzük ki az $y$-t az első egyenletből:
$$ y = 1 - 2x + z $$
Helyettesítsük ezt be a második és a harmadik egyenletbe is:
A másodikban: $$ x - 2(1 - 2x + z) + 3z = 6 $$ $$ x - 2 + 4x - 2z + 3z = 6 $$ $$ 5x + z = 8 \implies z = 8 - 5x $$
A harmadikban: $$ 3x + (1 - 2x + z) + z = 8 $$ $$ x + 2z = 7 $$
Kaptunk egy új egyenletet. Ebbe behelyettesítjük az előbb megkapott $z = 8 - 5x$ kifejezést:
$$ x + 2(8 - 5x) = 7 $$ $$ x + 16 - 10x = 7 $$ $$ -9x = -9 \implies x = 1 $$
Kiszámoljuk $z$-t és $y$-t:
$$ z = 8 - 5 \cdot 1 = 3 $$ $$ y = 1 - 2 \cdot 1 + 3 = 2 $$
A megoldáshármas: $(1; 2; 3)$.

Bár a paraméterek betűkkel vannak jelölve, a behelyettesítő módszer menete ugyanaz. Fejezzük ki az $x$-et a második egyenletből:
$$ x = b + y $$
Helyettesítsük be ezt az első egyenletbe:
$$ (b + y) + y = a $$ $$ 2y + b = a $$ $$ 2y = a - b \implies y = \frac{a - b}{2} $$
Most helyettesítsük vissza a kapott $y$-t az $x$ kifejezésébe:
$$ x = b + \frac{a - b}{2} = \frac{2b}{2} + \frac{a - b}{2} = \frac{a + b}{2} $$
A megoldás a paraméterek függvényében: $(\frac{a + b}{2}; \frac{a - b}{2})$.

Fejezzük ki $y$-t az első egyenletből:
$$ y = 1 - px $$
Helyettesítsük be a második egyenletbe:
$$ x + p(1 - px) = 1 $$ $$ x + p - p^2x = 1 $$
Rendezzük egy oldalra az $x$-et tartalmazó tagokat, és emeljünk ki:
$$ x(1 - p^2) = 1 - p $$
Mivel $p \notin \{ -1; 1 \}$, az $(1 - p^2)$ biztosan nem nulla, így oszthatunk vele:
$$ x = \frac{1 - p}{1 - p^2} $$ Használjuk fel, hogy $1 - p^2 = (1 - p)(1 + p)$:
$$ x = \frac{1 - p}{(1 - p)(1 + p)} = \frac{1}{1 + p} $$
Számítsuk ki $y$-t a korábbi kifejezésbe helyettesítéssel:
$$ y = 1 - p \left(\frac{1}{1 + p}\right) = \frac{1 + p}{1 + p} - \frac{p}{1 + p} = \frac{1}{1 + p} $$
A megoldás $(\frac{1}{1+p}; \frac{1}{1+p})$.

Legyen a kisebbik szám $x$, a nagyobbik $y$. A szöveg alapján az alábbi egyenletrendszert írhatjuk fel:
$$ \begin{cases} \frac{x}{y} = \frac{3}{4} \\ 2x + 5y = 52 \end{cases} $$
Az első egyenletből könnyen kifejezhetjük az $x$-et (amely lényegében egy aránypáros behelyettesítés):
$$ x = \frac{3}{4}y = 0.75y $$
Helyettesítsük be a második egyenletbe:
$$ 2(0.75y) + 5y = 52 $$ $$ 1.5y + 5y = 52 $$ $$ 6.5y = 52 $$
Osztva 6.5-tel kapjuk az $y$ értékét:
$$ y = 8 $$
Ekkor $x$ értéke:
$$ x = 0.75 \cdot 8 = 6 $$
A keresett számok tehát a $6$ és a $8$.

Ilyen esetekben, ha mindenképp behelyettesítő módszert alkalmazunk, törtekkel kell számolnunk, vagy használhatjuk a részleges kifejezést. Vegyük észre, hogy a $12x$ az $3 \cdot (4x)$. Fejezzük ki a $4x$-et a második egyenletből:
$$ 4x = 43 - 15y $$
Helyettesítsük be a $4x$-et az első egyenletbe, átalakítva azt $3 \cdot (4x) - 5y = 29$ formába:
$$ 3(43 - 15y) - 5y = 29 $$ $$ 129 - 45y - 5y = 29 $$ $$ 129 - 50y = 29 $$ $$ 100 = 50y \implies y = 2 $$
Helyettesítsük vissza a $4x$ kifejezésébe:
$$ 4x = 43 - 15 \cdot 2 = 43 - 30 = 13 \implies x = \frac{13}{4} = 3.25 $$
A megoldás a $(3.25; 2)$ számpár.