Szorzattá alakítás

Közös tényező kiemelésével kapjuk az eredményt. A legnagyobb közös osztó a kifejezésekben a $3xy$. Ezt kiemelve: $3xy(x-2y+3)$.

Az első két tagból emeljük ki $a$-t, a második két tagból $b$-t: $a(x+y)+b(x+y)$. Ezt követően a közös $(x+y)$ tényezőt emelhetjük ki, így az eredmény $(a+b)(x+y)$.

A kifejezés felírható két négyzet különbségeként: $(7a)^2-(4b)^2$. Az $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ azonosságot alkalmazva a szorzatalak $(7a-4b)(7a+4b)$.

A kifejezésben felismerhető egy teljes négyzet: az első tag $x$ négyzete, a harmadik tag $5$ négyzete, a középső tag pedig a kettő szorzatának kétszerese negatív előjellel. Így az eredmény $(x-5)^2$.

Ez két köb különbsége, hiszen felírható $x^3-2^3$ alakban. Az $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ azonosság alapján a tényezős alak $(x-2)(x^2+2x+4)$. A másodfokú tényező tovább már nem bontható a valós számok halmazán (diszkriminánsa negatív).

A kifejezés $(3a)^3+1^3$ alakú. A köbök összegére vonatkozó $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$ azonosságot alkalmazva az eredmény $(3a+1)(9a^2-3a+1)$.

Keresünk két számot, melyek összege $5$ (a másodfokú együttható ellentettje), szorzata pedig $6$. Ezek a $2$ és a $3$. Ezt felhasználva, vagy a másodfokú egyenlet megoldóképletével a gyöktényezős alak: $(x-2)(x-3)$.

A másodfokú egyenlet megoldóképletével meghatározzuk a polinom gyökeit: $x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{49-24}}{4}$, így $x_1 = 3$ és $x_2 = \frac{1}{2}$. Az $a(x-x_1)(x-x_2)$ alakot használva kapjuk: $2(x-3)(x-\frac{1}{2})$. A $2$-es szorzót bevíve a törtes zárójelbe az elegánsabb eredmény: $(x-3)(2x-1)$.

Csoportosítsuk a tagokat: az első kettőből emeljünk ki $x^2$-et, az utolsó kettőből $-1$-et. Kapjuk: $x^2(x-2)-(x-2)$. A közös $(x-2)$ tényezőt kiemelve a kapott alak $(x^2-1)(x-2)$. Az első zárójel két négyzet különbségeként tovább bontható, a végeredmény így $(x-1)(x+1)(x-2)$.

A kifejezés felírható $(x^2)^2-4^2$ formában. Az azonosságot alkalmazva: $(x^2-4)(x^2+4)$. Az első tényező újra bontható, a második viszont valós számok körében már nem. Így a végső szorzatalak: $(x-2)(x+2)(x^2+4)$.

Vezessünk be egy új változót: legyen $y=x-1$. Ekkor a kifejezés $y^2-4y+4$ alakú lesz, amiről azonnal felismerhető, hogy ez $(y-2)^2$. Visszahelyettesítve $y$-t kapjuk: $((x-1)-2)^2$, amely összevonva adja a végeredményt: $(x-3)^2$.

Alakítsuk úgy a kifejezést, hogy teljes négyzetet kapjunk, de közben az érték ne változzon. Ha $x^4+2x^2+1$ lenne, akkor az $(x^2+1)^2$ lenne. Ezért adjunk hozzá és vonjunk ki $x^2$-et: $(x^4+2x^2+1)-x^2 = (x^2+1)^2-x^2$. Ezt két négyzet különbségeként felbontva kapjuk: $(x^2+x+1)(x^2-x+1)$.

Átrendezve a tagokat felismerhetjük az $x$-es részekből képzett teljes négyzetet: $(x^2+2x+1)-y^2$. Zárójelbe foglalva: $(x+1)^2-y^2$. Ez a forma két négyzet különbsége, melyet a jól ismert azonossággal szorzatba írhatunk: $(x+1-y)(x+1+y)$.

Vezessünk be egy új változót, $u=x^2$. A kifejezés így $u^2-5u+4$ alakú, aminek a gyökei $1$ és $4$, szorzatalakja pedig $(u-1)(u-4)$. Visszatérve $x$-re: $(x^2-1)(x^2-4)$. Mindkét tényező két négyzet különbsége, így a teljes felbontás: $(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$.

Képezzünk csoportokat: $(a^4-b^4)-(a^2-b^2)$. Az első zárójel felbontható, mint $(a^2-b^2)(a^2+b^2)$. A kifejezés tehát: $(a^2-b^2)(a^2+b^2)-(a^2-b^2)$. Ebből emeljük ki a közös $(a^2-b^2)$ tényezőt: $(a^2-b^2)(a^2+b^2-1)$. Az első tag tovább bontásával: $(a-b)(a+b)(a^2+b^2-1)$.

Mivel $x=1$ gyök, az $(x-1)$ biztosan kiemelhető. Polinomosztással vagy trükkös felbontással a kifejezést átrendezzük: $x^3-x^2-5x^2+5x+6x-6 = x^2(x-1)-5x(x-1)+6(x-1)$. Kiemelve $(x-1)$-et kapjuk: $(x-1)(x^2-5x+6)$. A másodfokú tényezőt is tényezőkre bontva a végső alak: $(x-1)(x-2)(x-3)$.

A hatványozás azonosságai alapján $2^{n+2}$ felírható szorzatként: $2^n \cdot 2^2$. A kifejezés tehát $2^n \cdot 4 - 2^n$. Ebből a $2^n$-t kiemelve kapjuk a $2^n(4-1)$ alakot, ami röviden $3 \cdot 2^n$.

Az $xy$ tagot bontsuk fel két részre: $2xy-xy$. Így a kifejezés: $x^2+2xy-xy-2y^2$. Képezzünk csoportokat: az első két tagból emeljünk ki $x$-et, az utolsó kettőből pedig $-y$-t: $x(x+2y)-y(x+2y)$. A közös $(x+2y)$ zárójel kiemelésével a végeredmény $(x-y)(x+2y)$.

Először bontsuk fel a zárójeleket: $abx^2+aby^2+xya^2+xyb^2$. Most alkossunk teljesen új csoportokat, párosítsuk az elsőt a harmadikkal, a másodikat a negyedikkel: $(abx^2+xya^2)+(aby^2+xyb^2)$. Az első csoportból kiemelhető $ax$, a másodikból $by$: $ax(bx+ay)+by(ay+bx)$. Mivel a zárójelekben lévő kifejezések megegyeznek, ez lesz a közös tényező: $(ax+by)(bx+ay)$.

Vegyük észre a szimmetriát és tekintsük az $(x+y+z)^3 = ((x+y)+z)^3$ felbontást. Alkalmazzuk a köbös kifejtést: $(x+y)^3+3(x+y)^2z+3(x+y)z^2+z^3$. Ha ebből kivonjuk az $x^3+y^3+z^3$ összeget, majd az $(x+y)^3-x^3-y^3$ maradékát $3xy(x+y)$ formába rendezzük és csoportosítjuk az elemeket a $(x+y)$ tényező mentén, további kiemelésekkel a rendkívül elegáns és tömör $3(x+y)(y+z)(z+x)$ szorzatalakhoz jutunk.