Oszthatóság és maradéktétel

Klasszikus polinomosztást vagy Horner-elrendezést alkalmazva:

$2x^3 : x = 2x^2$. Visszaszorozva: $2x^3 - 4x^2$. Kivonva az eredetiből: $-x^2 + 3x - 4$.
$-x^2 : x = -x$. Visszaszorozva: $-x^2 + 2x$. Kivonva: $x - 4$.
$x : x = 1$. Visszaszorozva: $x - 2$. Kivonva: $-2$.

A hányadospolinom: $2x^2 - x + 1$. A maradék: $-2$.

A maradéktétel kimondja, hogy egy $P(x)$ polinom $(x - a)$ lineáris polinommal való osztásakor a maradék megegyezik a $P(a)$ helyettesítési értékkel. Esetünkben az osztó $(x + 1) = (x - (-1))$, tehát $a = -1$.

Helyettesítsünk $x = -1$-et a polinomokba: $$P(-1) = (-1)^4 - 3(-1)^3 + 2(-1)^2 - 5(-1) + 1$$ $$P(-1) = 1 - 3(-1) + 2(1) + 5 + 1$$ $$P(-1) = 1 + 3 + 2 + 5 + 1 = 12$$ A maradék 12.

A maradéktétel értelmében a polinom pontosan akkor osztható $(x - 3)$-mal, ha az $x = 3$ zérushelye a polinomnak, azaz $P(3) = 0$.

$$P(3) = 3^3 + p \cdot 3^2 - 3 + 6 = 0$$ $$27 + 9p - 3 + 6 = 0$$ $$9p + 30 = 0$$ $$9p = -30$$ $$p = -\frac{30}{9} = -\frac{10}{3}$$ A keresett paraméter értéke tehát $p = -\frac{10}{3}$.

Írjuk fel a polinom együtthatóit csökkenő fokszám szerint (a hiányzó másodfokú tag együtthatója 0):
Felső sor: 3, -2, 0, 5, -7

A Horner-elrendezés algoritmusa $c = 2$ esetén:

• $a_4 = 3$
• $a_3 = 2 \cdot 3 + (-2) = 4$
• $a_2 = 2 \cdot 4 + 0 = 8$
• $a_1 = 2 \cdot 8 + 5 = 21$
• $a_0 = 2 \cdot 21 + (-7) = 35$

Az utolsó kapott érték adja meg a helyettesítési értéket, így $P(2) =$ 35.

Egész együtthatós polinom lehetséges racionális gyökeit a $p/q$ alakban keressük, ahol $p$ osztója a konstans tagnak (-6), $q$ pedig a főegyütthatónak (2). Az egész gyököket a -6 osztói között érdemes kezdeni keresni: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Próbálkozással: $P(-2) = 2(-8) - 4 - 13(-2) - 6 = -16 - 4 + 26 - 6 = 0$. Tehát az $x_1 = -2$ gyök.

Osszuk el a polinomot $(x + 2)$-vel Horner-elrendezéssel vagy polinomosztással. A hányadospolinom: $2x^2 - 5x - 3$.

Oldjuk meg a $2x^2 - 5x - 3 = 0$ másodfokú egyenletet a megoldóképlettel: $$x_{2,3} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4(2)(-3)}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4}$$ Innen $x_2 = 3$ és $x_3 = -0,5$.

A gyökök halmaza: $\{-2, -0,5, 3\}$.

A polinom pontosan akkor osztható a szorzattal, ha a szorzat mindkét gyöke (mivel azok különbözőek) gyöke a polinomnak. Azaz $P(1) = 0$ és $P(-2) = 0$.

1. egyenlet ($x=1$): $$1^4 + a(1)^3 + b(1)^2 - 4 = 0 \implies a + b = 3$$ 2. egyenlet ($x=-2$): $$(-2)^4 + a(-2)^3 + b(-2)^2 - 4 = 0 \implies 16 - 8a + 4b - 4 = 0$$ $$-8a + 4b = -12 \implies -2a + b = -3$$
Kivonva az első egyenletből a másodikat: $$(a + b) - (-2a + b) = 3 - (-3)$$ $$3a = 6 \implies a = 2$$
Visszahelyettesítve az első egyenletbe: $$2 + b = 3 \implies b = 1$$ A keresett paraméterek: $a = 2$ és $b = 1$.

A polinom egy másodfokúra visszavezethető (bikvadratikus) egyenletet ad $P(x)=0$ esetben. Alkalmazzuk az $y = x^2$ helyettesítést.

$$y^2 - 5y + 4 = 0$$ Ennek a másodfokú egyenletnek a gyökei $y_1 = 1$ és $y_2 = 4$. Visszahelyettesítve: $$x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$ $$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$ Mivel a polinom főegyütthatója 1, a gyöktényezős alak a négy valós gyök ismeretében egyértelmű:

$P(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$.

Másodfokú kifejezéssel való osztás esetén a maradék legfeljebb elsőfokú, alakja $R(x) = ax + b$. Felírhatjuk az osztás tényét: $$P(x) = (x-1)(x-2)Q(x) + ax + b$$ A maradéktételből tudjuk a helyettesítési értékeket: $P(1) = 3$ és $P(2) = 5$.

Helyettesítsük be ezeket az egyenletbe: $x=1 \implies P(1) = 0 \cdot Q(1) + a(1) + b \implies a + b = 3$
$x=2 \implies P(2) = 0 \cdot Q(2) + a(2) + b \implies 2a + b = 5$

Kivonva a második egyenletből az elsőt: $a = 2$. Visszahelyettesítve: $b = 1$.

A keresett maradékpolinom tehát: $R(x) = 2x + 1$.

A maradéktétel értelmében a $P(x) = x^n - 1$ polinom pontosan akkor osztható $(x-1)$-gyel, ha $P(1) = 0$.

Számítsuk ki a helyettesítési értéket: $$P(1) = 1^n - 1 = 1 - 1 = 0$$ Mivel $P(1)$ minden $n \in \mathbb{Z}^+$ esetén 0, a polinom osztható $(x-1)$-gyel. (Alternatív megoldásként felírható a szorzattá alakítás is: $x^n - 1 = (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + 1)$).

Egy érték pontosan akkor kétszeres gyöke egy polinomnak, ha az első deriváltjának is gyöke. Alternatív megoldásként kétszer eloszthatjuk a polinomot Horner-elrendezéssel $(x-2)$-vel, és mindkét maradéknak 0-nak kell lennie.

1. módszer (deriválással): $P(2) = 0 \implies 8 - 12 + 2c + 4 = 0 \implies 2c = 0 \implies c = 0$. Ellenőrizzük a deriváltat: $P'(x) = 3x^2 - 6x + c$. Ha $c=0$, $P'(2) = 12 - 12 = 0$. A feltétel teljesül.

2. módszer (algebrai): Ha $x=2$ kétszeres gyök, akkor a polinom osztható $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$-gyel. A polinom felírható mint $(x-2)^2(x-k)$ (mivel harmadfokú és a főegyütthatója 1). $(x^2 - 4x + 4)(x - k) = x^3 - (k+4)x^2 + (4k+4)x - 4k$. Együttható-összehasonlítással: $- (k+4) = -3 \implies k = -1$. $-4k = 4 \implies k = -1$ (konzisztens). $c = 4k + 4 = -4 + 4 = 0$.

A paraméter értéke: $c = 0$.

A polinom gyöktényezős alakja $P(x) = a_n(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$. A főegyüttható $a_n = 2$, így a polinom: $$P(x) = 2(x - 1)(x + 1)(x - 3)$$
Bontsuk fel a zárójeleket (érdemes az $(x-1)(x+1) = x^2-1$ azonosságot kihasználni): $$P(x) = 2(x^2 - 1)(x - 3)$$ $$P(x) = 2(x^3 - 3x^2 - x + 3)$$ $$P(x) = 2x^3 - 6x^2 - 2x + 6$$
A keresett polinom: $P(x) = 2x^3 - 6x^2 - 2x + 6$.

Az osztó felbontható tényezőkre: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Egy polinom pontosan akkor osztható $(x - 1)(x + 1)$-gyel, ha az $1$ és a $-1$ is gyöke a polinomnak.

Helyettesítsük be ezeket a $P(x) = x^{2024} - 1$ polinomba: $$P(1) = 1^{2024} - 1 = 1 - 1 = 0$$ $$P(-1) = (-1)^{2024} - 1 = 1 - 1 = 0$$ Mivel mindkét behelyettesítési érték nulla, az eredeti polinom osztható az $x^2 - 1$ polinommal.

A racionális gyökteszt értelmében lehetséges egész gyökök a $12$ osztói. Próbáljuk ki a legkisebbeket: $x = -1 \implies (-1)^4 - 2(-1)^3 - 7(-1)^2 + 8(-1) + 12 = 1 + 2 - 7 - 8 + 12 = 0$. Tehát $x_1 = -1$ gyök.

Osszunk $(x+1)$-gyel Horner-elrendezéssel. A kapott hányados: $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$. Ez a harmadfokú polinom csoportosítással is szorzattá alakítható: $$x^2(x - 3) - 4(x - 3) = 0$$ $$(x^2 - 4)(x - 3) = 0$$ Tovább bontva: $$(x - 2)(x + 2)(x - 3) = 0$$ A további gyökök: $x_2 = 2, x_3 = -2, x_4 = 3$.

A megoldáshalmaz: $\{-2, -1, 2, 3\}$.

Írjuk fel az osztást algebrai alakban: $$P(x) = (x+1)Q(x) + R$$ Először is keressük meg az $R$ maradékot a maradéktétellel: $R = P(-1)$. $$P(-1) = 1 + 2(-1) - 3(1) - 1 + 5 = 1 - 2 - 3 - 1 + 5 = 0$$ A maradék $0$, így a polinom maradéktalanul osztható: $P(x) = (x+1)Q(x)$.

Egy polinom együtthatóinak összege mindig megegyezik a polinom $x=1$ helyen vett helyettesítési értékével, tehát $Q(1)$-et keressük. Helyettesítsünk $x=1$-et a $P(x) = (x+1)Q(x)$ egyenletbe: $$P(1) = (1+1)Q(1) = 2Q(1)$$ Számítsuk ki $P(1)$ értékét az eredeti képletből: $$P(1) = 1 + 2 - 3 + 1 + 5 = 6$$ Így kapjuk: $6 = 2Q(1) \implies Q(1) = 3$.

A hányadospolinom együtthatóinak összege 3.

Egy $c$ gyök pontosan akkor (legalább) kétszeres gyök, ha $P(c) = 0$ és $P'(c) = 0$.

$P(x) = x^3 + ax + b \implies P'(x) = 3x^2 + a$. A derivált gyöke: $3c^2 + a = 0 \implies a = -3c^2$. A függvény gyöke: $c^3 + ac + b = 0$. Helyettesítsük be az $a$-t: $$c^3 + (-3c^2)c + b = 0 \implies -2c^3 + b = 0 \implies b = 2c^3$$ Tehát kaptuk: $c^2 = -\frac{a}{3}$ és $c^3 = \frac{b}{2}$.

Emeljük a harmadik hatványra az elsőt, és négyzetre a másodikat, hogy kiküszöböljük a $c$-t: $$(c^2)^3 = \left(-\frac{a}{3}\right)^3 \implies c^6 = -\frac{a^3}{27}$$ $$(c^3)^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 \implies c^6 = \frac{b^2}{4}$$ A kettő egyenlő, így: $$-\frac{a^3}{27} = \frac{b^2}{4}$$ Átrendezve kapjuk a keresett feltételt: $4a^3 + 27b^2 = 0$.

Bár nincsenek valós gyökei, a polinom szorzattá alakítható valós együtthatós tényezőkre az úgynevezett Sophie Germain-azonosság segítségével (teljes négyzetté kiegészítés).

Adjuk hozzá, és vonjuk le azonnal a $4x^2$ tagot, hogy egy teljes négyzetet alakítsunk ki: $$x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2$$ Az első három tag az $(x^2 + 2)$ kifejezés négyzete: $$(x^2 + 2)^2 - (2x)^2$$ Most alkalmazzuk az $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ azonosságot: $$(x^2 + 2 - 2x)(x^2 + 2 + 2x)$$
Átrendezve a végeredmény: $(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$.

Ha az $x=1$ kétszeres gyök, akkor behelyettesítve a polinomba és annak első deriváltjába is nullát kell kapnunk.

Függvényérték $x=1$-nél: $$P(1) = 1 - a + b + 1 = 0 \implies -a + b = -2 \implies b = a - 2$$ Derivált függvény: $P'(x) = 5x^4 - 3ax^2 + 2bx$. $$P'(1) = 5 - 3a + 2b = 0$$
Helyettesítsük be a $b = a - 2$ kifejezést a derivált egyenletébe: $$5 - 3a + 2(a - 2) = 0$$ $$5 - 3a + 2a - 4 = 0$$ $$1 - a = 0 \implies a = 1$$ Visszahelyettesítve $b$-be: $$b = 1 - 2 = -1$$
A paraméterek értékei: $a = 1$ és $b = -1$.

Írjuk fel az osztás egyenletét a maradékos osztás alaptétele alapján: $$P(x) = (x^2-1)Q(x) + 3x + 2$$ Bontsuk tényezőkre az osztót: $$P(x) = (x-1)(x+1)Q(x) + 3x + 2$$
A kérdés a $P(x)$ polinom $(x-1)$-gyel való osztásának maradéka. A maradéktétel szerint ez egyenlő $P(1)$ helyettesítési értékével. Helyettesítsük be az $x=1$-et a fenti egyenletbe: $$P(1) = (1-1)(1+1)Q(1) + 3(1) + 2$$ $$P(1) = 0 \cdot 2 \cdot Q(1) + 5 = 5$$ A keresett maradék tehát 5.

Mivel a polinom főegyütthatója $1$ és együtthatói egészek, egy esetleges egész gyök osztója kell legyen a konstans tagnak, azaz $-3$-nak. A lehetséges egész gyökök: $1, -1, 3, -3$.

Helyettesítsük be sorban a lehetséges gyököket, és vizsgáljuk meg a $k$ értékét (a feladat $k$-ra egész számot ír elő):

• Ha $x=1$: $1 + k - k - 3 = -2 \neq 0$, itt nem jöhet létre gyök.
• Ha $x=-1$: $-1 + k + k - 3 = 0 \implies 2k = 4 \implies k = 2$. Ez megoldás.
• Ha $x=3$: $27 + 9k - 3k - 3 = 0 \implies 6k = -24 \implies k = -4$. Ez megoldás.
• Ha $x=-3$: $-27 + 9k + 3k - 3 = 0 \implies 12k = 30 \implies k = 2.5$. Nem egész, így ez kiesik.

A keresett értékek: $k=2$ vagy $k=-4$.

A kifejezést közös nevezőre hozva kapjuk: $$\frac{x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3}{x_1x_2x_3}$$ A Viète-formulák alapján tudjuk, hogy egy harmadfokú $ax^3+bx^2+cx+d=0$ egyenletnél a gyökök kettős szorzata ismétlés nélkül $\frac{c}{a}$, a gyökök szorzata pedig $-\frac{d}{a}$. Esetünkben $a=2, b=-5, c=1, d=2$: $$x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3 = \frac{1}{2}$$ $$x_1x_2x_3 = -\frac{2}{2} = -1$$
A keresett érték tehát: $$\frac{\frac{1}{2}}{-1} = -\frac{1}{2}$$ A kifejezés értéke $-0,5$.