Polinomok műveletei

Az azonos fokszámú tagok együtthatóinak összevonásával:
Összeg: $P(x) + Q(x) = (3+1)x^3 + (-2+4)x^2 + (5-5)x + (-1+7) = 4x^3 + 2x^2 + 6$
Különbség: $P(x) - Q(x) = (3-1)x^3 + (-2-4)x^2 + (5-(-5))x + (-1-7) = 2x^3 - 6x^2 + 10x - 8$

Minden tagot beszorzunk minden taggal:
$2x(x^2 + 4x - 5) - 3(x^2 + 4x - 5) = 2x^3 + 8x^2 - 10x - 3x^2 - 12x + 15$
Az egynemű tagokat összevonva a végeredmény: $2x^3 + 5x^2 - 22x + 15$.

Az $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ azonosságot alkalmazzuk egymás után kétszer:
$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$
Az első tényező tovább bontható: $(x^2 - 4) = (x - 2)(x + 2)$.
A második tényező ($x^2 + 4$) a valós számok halmazán már nem bontható tovább (irreducibilis), így a végeredmény: $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$.

A gyöktényező tétel (Bézout-tétel) alapján egy $P(x)$ polinom pontosan akkor osztható $(x - c)$-vel, ha $P(c) = 0$.
Helyettesítsünk be $x = 2$-t a polinomba:
$P(2) = 2^3 - 4(2^2) + 5(2) - 2 = 8 - 16 + 10 - 2 = 0$.
Mivel a behelyettesítési érték $0$, az $x - 2$ kifejezés valóban osztója a polinomnak.

A maradéktétel szerint egy polinom $(x - c)$-vel való osztásakor a maradék megegyezik a $P(c)$ behelyettesítési értékkel. Itt az osztó $x + 1$, ami felírható $(x - (-1))$ alakban, tehát $c = -1$.
Számítsuk ki $P(-1)$ értékét:
$P(-1) = 2(-1)^4 - 3(-1)^3 + (-1) - 5 = 2(1) - 3(-1) - 1 - 5 = 2 + 3 - 1 - 5 = -1$.
A keletkező maradék tehát $-1$.

Polinomosztással haladva:
1. $x^3 : x = x^2$. Visszaszorozva: $x^2(x-1) = x^3 - x^2$. Kivonva az eredetiből marad: $-5x^2 + 11x - 6$.
2. $-5x^2 : x = -5x$. Visszaszorozva: $-5x(x-1) = -5x^2 + 5x$. Kivonva marad: $6x - 6$.
3. $6x : x = 6$. Visszaszorozva: $6(x-1) = 6x - 6$. Kivonva marad: $0$.
A hányados polinom tehát $x^2 - 5x + 6$, a maradék pedig $0$. (Ez egyben azt is jelenti, hogy $x=1$ gyöke a polinomnak.)

Közös nevezőre hozzuk a jobb oldalt (parciális törtekre bontás):
$\frac{A(x+1) + B(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{(A+B)x + (A-B)}{(x-1)(x+1)}$.
Mivel a nevezők megegyeznek, a számlálóknak is azonosan egyenlőnek kell lenniük:
$5x - 1 = (A+B)x + (A-B)$.
Az azonos fokszámú tagok együtthatóinak egyenlőségéből a következő egyenletrendszer adódik:
$A + B = 5$
$A - B = -1$
A két egyenletet összeadva: $2A = 4 \Rightarrow A = 2$. Visszahelyettesítve az elsőbe: $2 + B = 5 \Rightarrow B = 3$.
Tehát $A = 2$ és $B = 3$.

Könnyen észrevehető, hogy $x = 1$ esetén az együtthatók összege nulla ($1 - 7 + 6 = 0$), tehát az $x_1 = 1$ gyök. Ennek megfelelően kiemelhetjük az $(x - 1)$ tényezőt.
Polinomosztással (vagy Horner-módszerrel): $(x^3 - 7x + 6) : (x - 1) = x^2 + x - 6$.
A kapott másodfokú tényező gyökeit a megoldóképlettel (vagy Viète-formulákkal) keressük meg: $x^2 + x - 6 = 0 \Rightarrow x_{2,3} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(-6)}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}$.
A további gyökök tehát $x_2 = 2$ és $x_3 = -3$.
A gyöktényezős alak: $(x - 1)(x - 2)(x + 3)$.

A másodfokú egyenletekre vonatkozó Viète-formulák szerint a gyökök összege $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 5$, szorzata pedig $x_1 x_2 = \frac{c}{a} = 3$.
Az $x_1^2 + x_2^2$ kifejezés átalakítható a következőképpen (teljes négyzetté kiegészítéssel):
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.
Behelyettesítve a Viète-formulák alapján kapott értékeket:
$x_1^2 + x_2^2 = 5^2 - 2(3) = 25 - 6 = 19$.

A harmadfokú egyenletekre ($ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$) is léteznek Viète-formulák.
Az együtthatók: $a = 1, b = -4, c = 1, d = 6$.
A gyökök összege ($x_1 + x_2 + x_3$) egyenlő $-\frac{b}{a}$.
Tehát az összeg: $-\frac{-4}{1} = 4$.
A gyökök szorzata ($x_1 x_2 x_3$) egyenlő $-\frac{d}{a}$.
Tehát a szorzat: $-\frac{6}{1} = -6$.

Ahhoz, hogy az $x = 3$ érték gyöke legyen a polinomnak, a $P(3) = 0$ feltételnek kell teljesülnie.
Helyettesítsük be az $x = 3$-at:
$P(3) = 3^3 + c(3^2) - 5(3) + 6 = 0$
$27 + 9c - 15 + 6 = 0$
$9c + 18 = 0$
Ebből adódik, hogy $9c = -18$, vagyis $c = -2$.

A racionális gyöktétel értelmében a lehetséges racionális gyökök a konstans tag ($6$) osztóinak és a főegyüttható ($2$) osztóinak hányadosai. Lehetséges értékek: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}$.
Kipróbálva néhány értéket, vizsgáljuk meg az $x = -2$-t:
$2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 11(-2) + 6 = 2(-8) - 3(4) + 22 + 6 = -16 - 12 + 28 = 0$. Tehát $x = -2$ gyök.
Polinomosztással: $(2x^3 - 3x^2 - 11x + 6) : (x + 2) = 2x^2 - 7x + 3$.
A másodfokú hányados gyökeit a megoldóképlettel kapjuk: $x_{2,3} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} = \frac{7 \pm 5}{4}$.
Innen a másik két gyök: $x_2 = 3$ és $x_3 = \frac{1}{2}$. A gyökök halmaza: $\{-2, \frac{1}{2}, 3\}$.

Egy gyök multiplicitását a deriváltak vizsgálatával is megállapíthatjuk. Az $x=c$ érték $k$-szoros gyök, ha $P(c) = P'(c) = ... = P^{(k-1)}(c) = 0$, de $P^{(k)}(c) \neq 0$.
1. $P(1) = 1 - 2 + 2 - 1 = 0$ (Tehát legalább egyszeres).
2. $P'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2 \Rightarrow P'(1) = 4 - 6 + 2 = 0$ (Legalább kétszeres).
3. $P''(x) = 12x^2 - 12x \Rightarrow P''(1) = 12 - 12 = 0$ (Legalább háromszoros).
4. $P'''(x) = 24x - 12 \Rightarrow P'''(1) = 24 - 12 = 12 \neq 0$.
Mivel a harmadik derivált már nem nulla az $x=1$ helyen, a gyök multiplicitása 3 (azaz háromszoros gyök).

A feltételek alapján a polinom felírható gyöktényezős alakban. A főegyüttható $a=1$. Az $x=2$ egyszeres gyök, így az $(x-2)$ tényező az első hatványon szerepel. Az $x=-1$ kétszeres gyök, így az $(x - (-1)) = (x+1)$ tényező a második hatványon szerepel.
$P(x) = 1 \cdot (x - 2)(x + 1)^2$
Kifejtve a polinomot algebrai alakra:
$P(x) = (x - 2)(x^2 + 2x + 1) = x^3 + 2x^2 + x - 2x^2 - 4x - 2 = x^3 - 3x - 2$.

Bontsuk ki az $(x+y)^3$ kifejezést a binomiális tétel (vagy nevezetes azonosság) segítségével:
$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.
Helyettesítsük be ezt az eredeti kifejezésbe:
$(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) - x^3 - y^3$
A köbös tagok kiesnek, marad: $3x^2y + 3xy^2$.
Ebből kiemelhetjük a közös tényezőt ($3xy$), így az egyszerűsített, szorzat alak: $3xy(x+y)$.

Bontsuk fel a zárójeleket a bal oldalon:
$x^3 - 2x^2 + ax^2 - 2ax + bx - 2b = x^3 + (a-2)x^2 + (b-2a)x - 2b$
Két polinom akkor egyenlő azonosan, ha a megfelelő fokszámú tagjaik együtthatói megegyeznek. Egyenlítsük ki az együtthatókat:
1. $x^2$ együtthatója: $a - 2 = -5 \Rightarrow a = -3$
2. Konstans tag: $-2b = -6 \Rightarrow b = 3$
3. $x$ együtthatója: $b - 2a = c$
Behelyettesítve az első két értéket a harmadik egyenletbe: $c = 3 - 2(-3) = 3 + 6 = 9$.
Tehát $a = -3, b = 3$ és $c = 9$.

Használjuk a harmadfokú egyenletekre vonatkozó Viète-formulákat:
$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} = -2$
$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a} = -5$
A keresett négyzetösszeg felírható egy nevezetes azonosság segítségével:
$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)$
Helyettesítsük be a kapott értékeket:
$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (-2)^2 - 2(-5) = 4 + 10 = 14$.

Bontsuk tényezőkre a polinomot az $a^2-b^2$ azonosság segítségével:
$x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 0$
A szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla:
1. $x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$
2. $x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$
3. $x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1 \Rightarrow x_{3,4} = \pm i$ (ahol $i$ a képzetes egység).
A polinom gyökei a komplex számok halmazán: $1, -1, i, -i$.

Alkalmazzuk a Sophie Germain-azonosságot, amihez kiegészítjük a kifejezést teljes négyzetté:
$x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2$
Az első három tag alkotja az $(x^2 + 2)^2$ teljes négyzetet:
$x^4 + 4 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2$
Ezt két négyzet különbségeként bontjuk tovább az $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ formula alapján, ahol $a = x^2+2$ és $b = 2x$:
$x^4 + 4 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$.
Mindkét másodfokú tényező diszkriminánsa negatív ($\Delta = 4 - 8 = -4$), így a valós számok halmazán ezek irreducibilisek.

Végezzük el a polinomosztást: $(x^4 + 0x^3 + px^2 + 0x + q) : (x^2 + x + 1)$
1. $x^4 : x^2 = x^2$. Visszaszorozva és kivonva: $-x^3 + (p-1)x^2 + 0x + q$.
2. $-x^3 : x^2 = -x$. Visszaszorozva ($-x^3-x^2-x$) és kivonva: $px^2 + x + q$.
3. $px^2 : x^2 = p$. Visszaszorozva ($px^2+px+p$) és kivonva a maradék: $(1-p)x + (q-p)$.
Az oszthatóság feltétele, hogy az osztási maradék azonosan nulla polinom legyen, azaz minden együtthatója 0:
$1 - p = 0 \Rightarrow p = 1$
$q - p = 0 \Rightarrow q = p = 1$
Tehát a paraméterek értékei: $p = 1$ és $q = 1$. Ekkor az $x^4 + x^2 + 1$ polinom bontható fel $(x^2-x+1)(x^2+x+1)$ alakra.