Kifejezések átalakítása és a Pascal-háromszög alkalmazásai
Az algebrai kifejezések rutinszerű átalakítása a matematikai problémamegoldás egyik legfontosabb alappillére. Ebben a modulban az olyan nevezetes azonosságokat és alkalmazásaikat járjuk körbe, mint az $(a \pm b)^2$, a több tagú összegek négyzete $(a + b + c)^2$, a magasabb fokú $a^n \pm b^n$ alakú kifejezések szorzattá alakítása, valamint a Pascal-háromszög és a binomiális tétel használata. Ezek a technikák elengedhetetlenek az emelt szintű egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásához és a komplex bizonyítási feladatokhoz.
1
Végezze el a négyzetre emelést a $(2x + 3y)^2$ kifejezésen.
Az $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ azonosságot alkalmazva: $(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2$, ami elvégezve a szorzásokat $4x^2 + 12xy + 9y^2$.
2
Bontsa fel a zárójelet a $(4a - 5b)^2$ kifejezés esetében.
A kifejezés felírható két négyzet különbségeként: $(7x)^2 - (8y)^2$. Az $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ azonosságot használva a szorzatalak $(7x - 8y)(7x + 8y)$.
A számlálót szorzattá alakítjuk a köbök különbségének azonossága alapján: $(x-y)(x^2+xy+y^2)$. Mivel a nevező megegyezik a második tényezővel, ezzel egyszerűsíthetünk. Az eredmény $x-y$.
9
Számítsa ki a $101^2 - 99^2$ kifejezés pontos értékét zsebszámológép használata nélkül.
Az $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ azonosságot alkalmazva felírható, hogy $(101 - 99)(101 + 99)$. A zárójelek értékét kiszámítva kapjuk a $2 \cdot 200$ szorzatot, aminek az eredménye $400$.
10
Írja fel az $(x+y)^4$ kifejezés tagjait a Pascal-háromszög megfelelő sorának segítségével.
A Pascal-háromszög ötödik sora (ahol a kitevő 4) a következő együtthatókat adja: $1, 4, 6, 4, 1$. Ezeket alkalmazva a binomiális kifejtésre: $1 \cdot x^4 + 4 \cdot x^3y + 6 \cdot x^2y^2 + 4 \cdot xy^3 + 1 \cdot y^4$.
11
Alakítsa szorzattá az $x^4 - y^4$ kifejezést a valós számok halmazán úgy, hogy az a lehető legtöbb tényezőből álljon.
Először négyzettek különbségeként bontjuk fel: $(x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$. Az első tényező tovább bontható: $(x-y)(x+y)$. Mivel az $x^2+y^2$ a valós számok halmazán tovább nem bontható, a teljes alak: $(x-y)(x+y)(x^2+y^2)$.
12
Írja fel szorzatként az $a^5 + b^5$ kifejezést.
Páratlan kitevők összegénél az $a^n + b^n$ azonosság értelmében kiemelhető $(a+b)$. A második tényezőben a kitevők fokozatosan változnak, és az előjelek váltakoznak. Az eredmény: $(a+b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$.
13
Alakítsa szorzattá az $x^6 - 64$ kifejezést a valós együtthatós polinomok körében, amennyire csak lehetséges.
Kezdjük a négyzettek különbségével: $(x^3)^2 - 8^2 = (x^3 - 8)(x^3 + 8)$. Ezt követően alkalmazzuk a köbök különbségét és összegét mindkét tényezőre. Így $(x-2)(x^2+2x+4)$ és $(x+2)(x^2-2x+4)$ adódik. A teljes alak: $(x-2)(x+2)(x^2+2x+4)(x^2-2x+4)$. A másodfokú tényezők diszkriminánsa negatív, így tovább nem bonthatók.
14
Bizonyítsa be, hogy ha három valós szám összege nulla ($a+b+c=0$), akkor teljesül az $a^3+b^3+c^3=3abc$ egyenlőség.
Mivel $a+b+c=0$, kifejezhetjük, hogy $a+b=-c$. Emeljük mindkét oldalt köbre: $(a+b)^3 = (-c)^3$, azaz $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = -c^3$. Ebből a középső tagokat szorzattá alakítva: $a^3 + b^3 + 3ab(a+b) = -c^3$. Helyettesítsük be $(a+b)$ helyére a $-c$ értéket: $a^3 + b^3 - 3abc = -c^3$. Rendezzük az egyenletet, így megkapjuk az $a^3+b^3+c^3=3abc$ állítást.
15
Hozza egyszerűbb alakra az $\frac{x^4+x^2y^2+y^4}{x^2+xy+y^2}$ kifejezést.
A számlálót okos bővítéssel teljes négyzetté egészíthetjük ki: $x^4+x^2y^2+y^4 = x^4+2x^2y^2+y^4 - x^2y^2 = (x^2+y^2)^2 - (xy)^2$. Ez egy négyzettek különbsége, ami így bontható: $(x^2+y^2-xy)(x^2+y^2+xy)$. Osztva a nevezővel, a végeredmény $x^2-xy+y^2$.
16
Határozza meg az $x^3$ tag együtthatóját a $(2x-1)^5$ kifejezés kifejtésében.
A binomiális tétel alapján a k-adik tag alakja $\binom{5}{k} (2x)^{5-k} (-1)^k$. Ahhoz, hogy $x^3$ szerepeljen, $5-k = 3$ kell legyen, tehát $k=2$. A tag ekkor: $\binom{5}{2} (2x)^3 (-1)^2 = 10 \cdot 8x^3 \cdot 1 = 80x^3$. Az együttható tehát $80$.
17
Oldja meg a valós számok halmazán az $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 8$ egyenletet.
Az egyenlet bal oldala felismerhetően az $(x-1)^3$ teljes köb kifejtett alakja. Így az egyenlet: $(x-1)^3 = 8$. Mivel a valós számok körében a köbgyökvonás egyértelmű, kapjuk, hogy $x-1 = 2$, amiből a megoldás $x = 3$.
18
Igazolja, hogy az $n^3 - n$ kifejezés minden $n$ egész szám esetén osztható $6$-tal.
Alakítsuk szorzattá a kifejezést: $n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n-1)n(n+1)$. Látható, hogy ez három egymást követő egész szám szorzata. Három egymást követő egész szám között biztosan van legalább egy páros (vagyis 2-vel osztható) és pontosan egy 3-mal osztható szám. Mivel a 2 és a 3 relatív prímek, a szorzat osztható $2 \cdot 3 = 6$-tal.
19
Számítsa ki a $\sqrt{7-4\sqrt{3}} + \sqrt{7+4\sqrt{3}}$ kifejezés pontos értékét.
A gyök alatti kifejezéseket teljes négyzetté alakítjuk. A $7 \pm 4\sqrt{3}$ felírható úgy, mint $4 \pm 4\sqrt{3} + 3$, ami megegyezik a $(2 \pm \sqrt{3})^2$ formával. Így a kifejezés: $\sqrt{(2-\sqrt{3})^2} + \sqrt{(2+\sqrt{3})^2}$. Mivel mindkét alap pozitív, az abszolútérték jelek elhagyhatók: $(2-\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3}) = 4$.
20
Igazolja a Brahmagupta-Fibonacci azonosságot, azaz mutassa meg, hogy $(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2$.
Fejtsük ki mindkét oldalt. A bal oldal: $a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$. A jobb oldal a négyzetre emelések elvégzésével: $(a^2c^2 - 2abcd + b^2d^2) + (a^2d^2 + 2abcd + b^2c^2)$. A jobb oldalon a $-2abcd$ és $+2abcd$ tagok kiejtik egymást, így megmarad az $a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2$, ami megegyezik a bal oldallal. Az azonosság igazolt.