Algebrai törtek

Először az értelmezési tartományt vizsgáljuk. A tört nevezője nem lehet nulla, így $x^2-4 \neq 0$. Ebből következik, hogy $x \neq 2$ és $x \neq -2$. Az értelmezési tartomány tehát $\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$. Az egyszerűsítéshez szorzattá alakítjuk a számlálót (kiemeléssel) és a nevezőt (nevezetes azonossággal): $\frac{2(x-2)}{(x-2)(x+2)}$. Az $(x-2)$ tényezővel egyszerűsítve az eredmény $\frac{2}{x+2}$.

A nevezőben a négyzetek különbsége azonosságot ismerhetjük fel: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$. A számláló egy másodfokú kifejezés, melynek gyökei a Viète-formulák alapján (összegük 5, szorzatuk 6) a 2 és a 3. Így a szorzatalakja: $(x-2)(x-3)$. A tört felírva: $\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)}$. Az $(x-3)$ tényezővel egyszerűsítve (feltéve, hogy $x \neq 3, x \neq -3$), az eredmény $\frac{x-2}{x+3}$.

A számlálóban csoportosításos kiemelést alkalmazunk. Az első két tagból emeljünk ki $a$-t, a második kettőből $-b$-t: $a(x+y)-b(x+y)$. Most az $(x+y)$ a közös tényező, tehát a számláló $(a-b)(x+y)$. A nevező a szokásos azonosság: $(a-b)(a+b)$. A kifejezés tehát $\frac{(a-b)(x+y)}{(a-b)(a+b)}$. Feltéve, hogy $a \neq b$ és $a \neq -b$, egyszerűsítve kapjuk a $\frac{x+y}{a+b}$ végeredményt.

A számlálóban egy köbök különbsége azonosság található, hiszen $8 = 2^3$. Az $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ azonosság alapján: $x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)$. Észrevehetjük, hogy a második tényező pontosan megegyezik a nevezővel. Mivel $x^2+2x+4 > 0$ minden valós $x$-re (diszkriminánsa negatív), az osztás mindig elvégezhető. Az egyszerűsítés után a végeredmény csupán $x-2$.

A két tört nevezője eltérő, közös tényezőjük nincs. A legkisebb közös többszörös (közös nevező) a kettő szorzata: $(x-1)(x+1) = x^2-1$. Az első törtet $(x+1)$-gyel, a másodikat $(x-1)$-gyel bővítjük: $\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{3(x-1)}{(x-1)(x+1)}$. A számlálókat összevonva: $\frac{2x+2+3x-3}{x^2-1}$, ami végül $\frac{5x-1}{x^2-1}$ lesz.

Bontsuk tényezőkre az első tört nevezőjét: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$. Látható, hogy a második tört nevezője benne van az elsőében, így a közös nevező $(x-2)(x+2)$ lesz. Csak a második törtet kell bővíteni $(x+2)$-vel: $\frac{x}{(x-2)(x+2)} - \frac{1 \cdot (x+2)}{(x-2)(x+2)}$. Közös törtvonalra hozva: $\frac{x - (x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x - x - 2}{(x-2)(x+2)}$. A végeredmény: $\frac{-2}{x^2-4}$, vagy más formában $\frac{2}{4-x^2}$.

A szorzás elvégzése előtt érdemes mindent szorzattá alakítani és keresztben egyszerűsíteni. $x^2-1 = (x-1)(x+1)$, és $x^2+x = x(x+1)$. Felírva a szorzatot: $\frac{(x-1)(x+1)}{x(x+1)} \cdot \frac{x}{x-1}$. Azonos tényezők kiesnek: $(x-1)$ a számlálóban és nevezőben, $(x+1)$ a számlálóban és nevezőben, valamint $x$ a számlálóban és nevezőben. Miután minden kiesett, a szorzat értéke 1 (feltéve, hogy $x \notin \{0, 1, -1\}$).

Törttel úgy osztunk, hogy a reciprokával szorzunk: $\frac{x^2-4x+4}{x^2-1} \cdot \frac{x+1}{x-2}$. Alakítsuk szorzattá a tagokat: $x^2-4x+4 = (x-2)^2$, valamint $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. A művelet így néz ki: $\frac{(x-2)^2}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{x+1}{x-2}$. Egyszerűsítünk $(x-2)$-vel és $(x+1)$-gyel. A visszamaradó kifejezés: $\frac{x-2}{x-1}$.

Egyik módszer a számláló és a nevező külön-külön közös nevezőre hozása. Számláló: $\frac{x^2-1}{x^2}$. Nevező: $\frac{x+1}{x}$. Az emeletes törtes osztás: $\frac{x^2-1}{x^2} \cdot \frac{x}{x+1}$. Bontsuk tényezőkre az $x^2-1$-et: $\frac{(x-1)(x+1)}{x^2} \cdot \frac{x}{x+1}$. Keresztbe egyszerűsítve $(x+1)$-gyel és $x$-szel kapjuk: $\frac{x-1}{x}$. Alternatív gyorsabb módszer: eleve bővítjük a fő törtet $x^2$-zettel, így azonnal a $\frac{x^2-1}{x^2+x}$ alakra jutunk.

A legkisebb közös többszörös megállapításához mindent szorzattá kell alakítani. Az első: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$. A második: $x^2-6x+9 = (x-3)^2$. A harmadik: $x^2+3x = x(x+3)$. Az LKKT képzésekor minden előforduló tényezőt a legnagyobb kitevőn veszünk. Szereplő tényezők: $x$, $(x+3)$ és $(x-3)$. Az $(x-3)$ a négyzeten is szerepel, ezért ez kerül be az LKKT-ba. Eredmény: $x(x+3)(x-3)^2$.

A legnagyobb közös osztóhoz is szorzatalakra van szükség. Első polinom kiemeléssel: $x(x^2-x-2)$. A zárójeles rész gyökei (Viète) a 2 és a -1, így a teljes szorzatalak: $x(x-2)(x+1)$. Második polinom: $x(x^2-4) = x(x-2)(x+2)$. Az LNKO azokat a tényezőket tartalmazza, amelyek mindkét felbontásban szerepelnek, a legkisebb előforduló kitevőn. A közös tényezők az $x$ és az $(x-2)$. Az LNKO tehát: $x(x-2)$, vagy kibontva $x^2-2x$.

Bontsuk fel mind a számlálót, mind a nevezőt az ismert azonosságok alapján. A köbök összege: $p^3+q^3 = (p+q)(p^2-pq+q^2)$. A négyzetek különbsége: $p^2-q^2 = (p-q)(p+q)$. Behelyettesítve: $\frac{(p+q)(p^2-pq+q^2)}{(p-q)(p+q)}$. A $(p+q)$ tényezővel tudunk egyszerűsíteni, így az eredmény: $\frac{p^2-pq+q^2}{p-q}$.

Tényezőkre bontjuk a nevezőket: $x(x+1)$, $x(x-1)$, és $(x-1)(x+1)$. A legkisebb közös többszörösük (közös nevező) $x(x-1)(x+1)$. Bővítjük a törteket sorban $(x-1)$-gyel, $(x+1)$-gyel, és $x$-szel: $\frac{x-1}{x(x-1)(x+1)} + \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)} - \frac{2x}{x(x-1)(x+1)}$. A számlálókat összevonva: $x - 1 + x + 1 - 2x = 0$. Mivel a számláló 0, a teljes kifejezés értéke is 0 (természetesen az értelmezési tartományon belül, $x \notin \{-1, 0, 1\}$).

Ez egy klasszikus algebrai fogás. Emeljük négyzetre a megadott $x+\frac{1}{x}=5$ egyenlet mindkét oldalát: $\left(x+\frac{1}{x}\right)^2 = 25$. A binomiális tétel, $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ alapján bontsuk fel a bal oldalt: $x^2 + 2\cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 25$. Figyeljük meg a középső tagot: az $x$ és reciprokának szorzata 1. Tehát: $x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 25$. Rendezve megkapjuk a keresett értéket: $x^2+\frac{1}{x^2} = 23$.

Első lépésben a belső negatív kitevőket írjuk át törtes alakba: $(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})^{-1}$. A zárójelen belül hozzunk közös nevezőre ($xy$): $(\frac{y+x}{xy})^{-1}$. Egy tört -1. hatványa a tört reciprokát jelenti, ezért egyszerűen felcseréljük a számlálót és a nevezőt. Az eredmény: $\frac{xy}{x+y}$. Gyakori hiba a kitevő direkt "bemenete", de $(a+b)^n \neq a^n+b^n$.

A számláló egy negyedik hatványokból álló különbség ($x^4 - 2^4$), mely kétszeresen bontható tényezőkre a négyzetek különbségével: $(x^2-4)(x^2+4) = (x-2)(x+2)(x^2+4)$. A nevezőben négy tag van, érdemes csoportosítani. Kiemelünk $x^2$-et az első kettőből, és 4-et a második kettőből: $x^2(x+2) + 4(x+2)$. A közös tényező itt $(x+2)$, így a nevező szorzatalakja: $(x+2)(x^2+4)$. Visszaírva a törtbe: $\frac{(x-2)(x+2)(x^2+4)}{(x+2)(x^2+4)}$. Egyszerűsítés után a végeredmény $x-2$.

Mindkét kifejezést felbontjuk azonosságok alapján. Az első tört számlálója: $(a-b)(a+b)$. A nevezője egy teljes négyzet: $(a+b)^2$. Ekkor a szorzat így írható: $\frac{(a-b)(a+b)}{(a+b)^2} \cdot \frac{a+b}{a-b}$. Észrevehetjük, hogy az $(a-b)$ egyszerűsíthető keresztben. Az $(a+b)$ szintén kiesik, mivel a számlálóban összesen $(a+b) \cdot (a+b)$ szerepel, míg a nevezőben $(a+b)^2$. Minden tényező kiejti egymást, így az eredmény pontosan 1.

A legegyszerűbb módszer az emeletes tört felbontására, ha a számlálót és a nevezőt beszorozzuk a résznevezők legkisebb közös többszörösével, ami itt $ab$. (Ezzel a tört értéke nem változik). $\frac{ab \cdot (\frac{a}{b} - \frac{b}{a})}{ab \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})}$. A számlálóban kapjuk: $a^2 - b^2$. A nevezőben kapjuk: $b + a$. Az eredmény tehát $\frac{a^2-b^2}{a+b}$. A számlálót azonossággal szorzattá alakítva: $\frac{(a-b)(a+b)}{a+b}$. Egyszerűsítve $(a+b)$-vel, a végeredmény $a-b$.

Az első tört nevezőjében lévő köbök különbsége felbontható: $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$. Jól látható, hogy a második tört nevezője az első nevezőjének része, így a közös nevező pont az $x^3-1$ lesz. A második törtet $(x-1)$-gyel kell bővíteni. $\frac{x}{(x-1)(x^2+x+1)} - \frac{1 \cdot (x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}$. A számláló összevonva: $x - (x-1) = x - x + 1 = 1$. A végeredmény: $\frac{1}{x^3-1}$.

Érdemes az összevonást balról jobbra lépésenként elvégezni. Első két tag: $\frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x}$. Közös nevezőjük $1-x^2$, a számláló $(1+x)+(1-x) = 2$. Eredmény: $\frac{2}{1-x^2}$. Hozzáadjuk a harmadik tagot: $\frac{2}{1-x^2} + \frac{2}{1+x^2}$. Közös nevező az $(1-x^2)(1+x^2) = 1-x^4$. Számláló: $2(1+x^2) + 2(1-x^2) = 2+2x^2+2-2x^2 = 4$. Eredmény: $\frac{4}{1-x^4}$. Végül jön a negyedik tag: $\frac{4}{1-x^4} + \frac{4}{1+x^4}$. Közös nevező: $1-x^8$. Számláló: $4(1+x^4) + 4(1-x^4) = 8$. A teljes kifejezés egyszerűsített alakja: $\frac{8}{1-x^8}$.